小学数学巧算方法之平方差公式证明推导过程及运用详解 |
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平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。 通常写为:a²-b²=(a+b)x(a-b) 它的几何方法推导过程是这样的: 如下图所示,四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,边长分别为a和b,求阴影部分面积。 G老师纯手绘显然,阴影部分面积有2种求法。 第一种方法 阴影面积=大正方形面积-小正方形面积 即,阴影面积=a²-b² 第二种方法 作两条辅助线,延长FG、EG,分别交线段AB、BC与点H、J。 阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积 跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。 G老师纯手绘分别计算出三个四边形的边长后, 我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。 接下来,我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。 即如下图所示,将③移到④后, G老师纯手绘,姑且认为和上边的图一样吧此刻, 阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。 阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。 因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积, 所以它们的结果是相等的。 a²-b²=(a+b)x(a-b) 当然,代数方法也可以证明。 令A=(a+b), (a+b)x(a-b) =Ax(a-b) =Axa-Axb (乘法分配律) =(a+b)xa-(a+b)xb(代入A=a+b) =a²+ab-ab-b² =a²-b² 【例题】计算:48x52+37x43 分析:48和52刚好都与50相差2,37和43刚好与40相差3。 48x52+37x43 =(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3) =50²-2²+40²-3² =2500-4+1600-9 =4087 这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算,关键在于自己要熟练掌握,牢记于心,灵活运用。 |
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