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线性分组码之监督矩阵、生成矩阵、编解码计算

以(n,k)码为例，进行码长n,信息位k,最小码距d0，纠错能力t，校正子计算

(1)监督矩阵H

监督矩阵H是一个r×n阶(r行n列)矩阵，r为监督位长，n为码长

典型监督矩阵，具有[PIr]形式的H矩阵

P为r×k阶矩阵；Ir为r×r阶矩阵

(2)生成矩阵G

生成矩阵G是一个k×n阶(k行n列)矩阵，k为信息位长，n为码长

典型生成矩阵，具有[IkQ]形式的G矩阵

Ik为k×k阶矩阵；Q为k×r阶矩阵，是P的转置矩阵

由典型生成矩阵G得出的码组A中，信息位的位置不变，监督位附加于其后，这种形式的码称为系统码

(3)校正子与译码

线性分组码的编码码组A满足:

线性分组码的译码码组B满足:

若校正子S＝0，表示接收码组B无错；

若校正子S≠0

E为错误图样，译码或者纠错后的码组A=B+E

S称为接收码组B的校正子

例题一：

已知某线性分组码的生成矩阵G如下，并求：

①码长n，信息位长k，最小码距d0，纠错能力；

②若信息码为1011，求编码结果。该码是否是系统码？若不是，求系统码编码结果；

③校验矩阵H（典型阵）；

④若接收码字是1100011，求校正子。该码是否是正确码？若是错码，请纠正。

解析：

①生成矩阵G是一个k×n阶(k行n列)矩阵，k为信息位长，n为码长

则码长为7，信息位长为4

典型生成矩阵G(典型)的求解

G的第2行与第3行异或可得：0001011

G的第2行与第4行异或可得：0010101

G的第1行与0001011异或可得：1000111

G的第4行与0001011异或可得：0100110

故G(典型)

有A=[a6a5a4a3]·G;

则所有码组为：

a6a5a4a3a2a1a0

0000000

0001011

0010101

0011110

0100110

0101101

0110011

0111000

1000111

1001100

1010010

1011001

1100001

1101010

1110100

1111111

编码为1的个数最小为3，故最小码距d0为3

根据d0≥2t+1,则t=1

②信息码1011，对应的系统码为1011001

③由G=[IkQ]可得Q

P为Q的转置矩阵，则

H=[PIr]

④接收码组为1100011

S=010，为错码

由所有码组可得，由于只能纠错一位，故接收端的码字应为1100001

例题二：

已知某线性分组码的校验矩阵H如下，求：

①码长n，信息位长k；

②典型生成矩阵G，若信息码为1010，求编码；

③最小码距d0，纠错能力t；

④若接收码字是1010101，求校正子，并判断是否是正确码字。

解析：

①监督矩阵H是一个r×n阶(r行n列)矩阵，r为监督位，n为码长

故码长n=7,信息位长k=n-r=3

②典型监督矩阵H(监督)

将H的第一行与第三行异或可得：1000111

将H的第一行与1000111异或可得：1110100

将H的第三行0011110与1110100异或可得：1101010

故H(监督)

由H=[PIr]可得P

由G=[IkQ]可得Q

Q为P的转置矩阵，则

G=[IkQ]

有A=[a6a5a4a3]·G;

则信息码为1010，对应的系统码编码为1010010

③根据A=[a6a5a4a3]·G

则所有码组为：

a6a5a4a3a2a1a0

0000000

0001011

0010101

0011110

0100110

0101101

0110011

0111000

1000111

1001100

1010010

1011001

1100001

1101010

1110100

1111111

编码为1的个数最小为3，故最小码距d0为3

根据d0≥2t+1,则t=1

④接收码组为1010101

S=111，为错码

由所有码组可得，由于只能纠错一位，故接收端的码字应为0010101