数据结构与算法专题

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一：作用

最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法，作为码农，此算法是我们的必备基本功。

二：概念

举个例子，cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有27个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我们可以看出子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，你可以看出 cnblogs 和 belong 的公共子序列吗？在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

数据结构与算法专题——第三题最长公共子序列

从图中可以看到最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

三：解决方案

1. 枚举法

这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列个数有27个，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。

2. 动态规划

既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

第一步：先计算最长公共子序列的长度。第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。

递推方程为：数据结构与算法专题——第三题最长公共子序列

不知道大家看懂了没？动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度，代码如下：

public class Program { static int[,] martix; static string str1 = "cnblogs"; static string str2 = "belong"; static void Main(string[] args) { martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1]; LCS(str1, str2); //只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可 Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]); Console.Read(); } static void LCS(string str1, string str2) { //初始化边界，过滤掉0的情况 for (int i = 0; i

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