最早将归纳同概率相结合的是德摩根和耶方斯。德摩根将一般除法定理和贝叶斯定理应用于科学假说。但是布尔（Boole）抓住了它的缺点，即运用贝叶斯推理给科学假说的概率带来更大的任意性，至此否定了概率归纳逻辑的方向。在70年代耶方斯作出重大开创性工作之前，这方面的工作基本趋于沉寂。耶方斯发展了布尔代数，他一方面有着关于归纳本质的方法论考虑，另一方面，他将数学应用于发展演绎逻辑的同时，也将数学应用于发展归纳逻辑。他在《科学原理》中说明：“如果不把归纳方法建立于概率论，那么，要恰当地阐释它们便是不可能的。”[1]耶方斯认为一切归纳推理都是概率的。

耶方斯的工作实现了古典归纳逻辑向现代归纳逻辑的过渡。

二、现代概率归纳逻辑

现代概率归纳逻辑始于20世纪20年代，逻辑学家凯恩斯、尼科（Nicod）及卡尔纳普和莱欣巴赫（Reichenbach）等人，采用不同的确定基本概率的原则及对概率的不同解释，形成不同的概率归纳逻辑学派。

凯恩斯将概率与逻辑相结合，认为归纳有效度和合理性的本质是一个逻辑问题，而不是经验的或形而上学的问题。他提出了“概率关系”的概念：假设任一命题集合组成前提h，任一命题集合组成结论a，若由知识h证实a的合理逻辑信度为α，我们称a和h间的“概率关系”的量度为α，记作a/h=α。并着眼于构造两个命题间的逻辑关系的合理体系，但未取得成功。而且他认为，大多数概率关系不可测，许多概率关系不可比较。但他在推进归纳逻辑与概率理论的结合上，作出了历史性的贡献，是现代归纳逻辑的一位“开路先锋”。

逻辑主义的概率归纳逻辑的代表卡尔纳普，在20世纪50年代提出概率逻辑系统，这一体系宣告了归纳逻辑的演绎化、形式化和定量化，将概率归纳逻辑推向了“顶峰”。卡尔纳普认为休谟说的归纳困难并不存在，归纳也是逻辑，并且也有像演绎一样的严格规则。施坦格缪勒（Stegmuller）指出：“2500年前，亚里士多德开始把正确的演绎推理的规则昭示世人，同样，卡尔纳普现在以精确表述归纳推理的规则为己任。”[2]演绎的逻辑基础在于它的分析性，所以，从维特根斯坦和魏斯曼（Waismann）就开始致力于把它改造为逻辑的概率概念，以使概率归纳成为分析性的。卡尔纳普完成了这一发展。他说：“我的思想的信条之一是，逻辑的概率概念是一切归纳推理的基础……因此，我称逻辑概率理论为‘归纳逻辑’。”[3]他并把此概念直接发展为科学的推理工具：“我相信，逻辑概率概念应当为经验科学方法论的基本概念，即一个假说为一给定证据所确证的概念提供一个精确的定量刻画。因此，我选用‘确证度’这个术语作为逻辑概率刻画的专门术语。”[3]与凯恩斯一样，卡尔纳普把概率1解释作句子e和h间的逻辑关系，表达式是c(h,e)=r，读作“证据e对假说h的逻辑确证度是r”。这样，归纳便是分析性的了，演绎推理是完全蕴涵，归纳推理是部分蕴涵，即归纳是演绎的一种特例。此外，卡尔纳普所想要的归纳逻辑还是定量的，他希望最终找到足够多的明确而可行的规则，使C(e,h)的计算成为只是一种机械的操作，以将他与凯恩斯严格区分开来。

20世纪30年代，莱欣巴赫建立了他的概率逻辑体系，被称为经验主义的概率归纳逻辑。他用频率说把概率定义为，重复事件在长趋势中发生的相对频率的极限。这种方法简单实用，但却带来两方面的困难。首先，上述极限定义是对于无数次重复事件的概率而言的。那如何找出一种测定假说真假的相对频率的方法呢？其次，对单一事件或单一假说怎么处理呢？所以频率说只适用于经验事件的概率，其合理性的辩护非常困难。它所面临的最大困难就是找不到由频率极限过渡到单个事件概率的适当途径。为此，莱欣巴赫建议把“概率”概念推广到虚拟的、平均化的“单个”事件，引进了单个事件的“权重（Weight）”概念，试图把理想化的单个事件的概率或“权重”事先约定与对应的同质事件的无限序列的极限频率视作同一。但这与他的初衷相背，频率论者不得不由原先主张的客观概率转向主观概率了。

对概率的前两种解释都着眼于概率的客观量度，然而对随机事件的概率预测离不开主观的信念与期望。主观主义概率归纳逻辑发端于20世纪30年代，创始人是拉姆齐（F.P.Ramsey）和菲尼蒂（DeFinetti）。它将概率解释为“合理相信程度”或“主体x对事件A的发生，或假说被证实的相信程度。”表明，如果按贝叶斯公理不断修正验前概率，那么无论验前概率怎样，验后概率将趋于一致；这样，验前概率的主观性和任意性就无关紧要了，因为它们终将淹没在验后概率的客观性和确定性之中。一个人对被检验假设的验前概率是由他当时的背景知识决定的。

主观概率充分注意到推理的个人意见及心理对于概率评价的相关性，意义重大。但是，人们在做出置信函项时，除了“一贯性”的较弱限制外，很难在多种合理置信函项间作出比较和选择。

三、概率归纳逻辑兴起的原因

概率归纳逻辑是伴随现代科学、现代演绎逻辑、归纳逻辑本身的发展而兴起的。

概率归纳逻辑兴起的原因大致有：（1）现代科学的发展。对微观粒子的运动只能采用概率的方法，因此，西方科学界出现了否定因果决定论而接受概率论的观念。（2）较完备的概率理论。特别是20世纪以来，它具备了严格的数学基础，而且被广泛应用于各种领域。（3）归纳逻辑本身要求进一步完善和精确化。人们要求对单称事件陈述对全称理论陈述的归纳支持作出量的精确刻画。逻辑的数学化，数学的逻辑化，穆勒已经注意到归纳与概率的关系，耶方斯等将归纳与概率结合。（4）以数理逻辑为主干的现代演绎逻辑逐渐成熟，从而使得一些逻辑学家热衷于将现代演绎的形式化、公理系统方法与概率论方法协调起来，以运用于归纳逻辑的研究。（5）对归纳法的合理性问题的探索。休谟的归纳问题一直是个哲学难题。现代归纳逻辑的种种体系，几乎都可以看成是对这个问题不断作出回答。上述三种概率归纳逻辑体系也无例外，都是为求得归纳推理的合理性，或对归纳论证进行改进，或把结论改成概率的陈述，使归纳逻辑被构造成演绎逻辑的一个分支，或用实用主义策略使归纳即使不是有效的，至少也有存在的理由。所以说概率逻辑是以现代演绎逻辑和概率论为工具，形式化、定量化的归纳逻辑。

20世纪50年代以后，科学技术步入一个新的阶段，概率论与数理统计、数理逻辑等相关学科取得新的发展，特别是计算机科学技术以及多学科交叉发展的趋势，使现代归纳逻辑的研究进入到一个新阶段，出现了一些新的趋势和特点。

第一，面临归纳演绎化的困难，出现了非概率化、非数量化的趋势，有的用有序化、等级化来代替，有的将定性的研究重新放到重要的位置上，有的又再度重视如模态、因果概念的结合使用等等。

第二，将主观因素与客观因素相结合，将纯逻辑研究与其他学科相结合。这就不能只限于语构层次，而要考虑语义、语用层次，就要涉及心理学、社会学等方面的研究。而且不能脱离所涉及的具体过程（实验）与学科。

第三，对归纳逻辑的研究与整个思维科学、信息科学的研究联系起来。归纳是一类复杂性问题，决不是单靠纯逻辑所能解决的。归纳远比演绎复杂，须与多学科结合起来进行系统研究。

第四，归纳逻辑的研究与当前的科技相互影响、相互作用。申农提出的信息论仅是相当于语形的统计信息模型。而信息的语义层次的研究都出自卡尔纳普之手，再经辛迪卡（Hintikka）等人的论作又已形成信息逻辑这一分支。这揭示了逻辑与信息科学的联系。再如，随着计算机科学、人工智能的研究进展，对归纳的研究日益受到重视。若能将人工智能与归纳结合起来，必将带来新的进展与突破[4]。

概率归纳逻辑是归纳逻辑的一个发展阶段，它大大发展了归纳逻辑，也昭示了归纳逻辑的发展机制，为我们出示了现代归纳逻辑发展的方向。

摘要：从穆勒等人对或然性的探讨，经耶方斯对概率归纳逻辑的开创，到卡尔纳普代表的现代概率归纳逻辑体系，考察了概率归纳逻辑的发展历程，从中揭示其兴起的原因，并分析现代归纳逻辑发展的一些新趋势。

关键词：概率归纳；逻辑；概率论

Abstract:FromMulle’sdiscussionoftheprobability,afterW.S.Jevons’sfoundationtotheprobabilisticinductivelogic,untilthesystemofmodernprobabilisticinductivelogicwhichCarnaprepresents.Thisarticleinspectstheprocessofwhichprobabilityinductivelogicdeveloped,promulgatesthereasonwhichitrises,andanalyzessomenewtendenciesofthemoderninductivelogic.

参考文献:

[1]W.S.Jevous.ThePrinciplesofScience[M].London:DoverPress,1877.197.

在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ代数[3]

这一概念：设Ω为样本空间，若Ω的一些子集所组成的集合?满足下列条件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，则A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，则∈∞=nnA∪1?，则我们称?为Ω的一个σ代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ-代数的概念：对同一个样本空间Ω，?1={?,Ω}为它的一个σ代数；设A为Ω的一子集，则?2={?,A,A,Ω}也为Ω的一个σ代数；设B为Ω中不同于A的另一子集，则?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也为Ω的一个σ代数；Ω的所有子集所组成的集合同样能构成Ω的一个σ代数．当我们考虑?2时，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω当作事件，而B或AB就不在考虑范围之内．由此σ代数的定义就较易理解了．2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”

电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

由于这个问题与当前电视上一些娱乐竞猜节目很相似，学生们就很积极地参与到这个问题的讨论中来．讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西有关，这样就可以很自然的引出条件概率来．在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得学生的积极性高涨，另一方面让学生意识到所学的概率论知识与我们的日常生活是息息相关的，可以帮助我们解决很多实际的问题．因此在介绍概率论基础知识时，引进有关经典的案例会取得很好的效果．例如分赌本问题、库存与收益问题、隐私问题的调查、概率与密码问题、17世纪中美洲巫术问题、调查敏感问题、血液检验问题、1992年美国佛蒙特州州务卿竞选的概率决策问题，以及当前流行的福利中奖问题，等等[4]．概率论不仅可以为上述问题提供解决方法，还可以对一些随机现象做出理论上的解释，正因为这样，概率论就成为我们认识客观世界的有效工具．比如说我们知道某个特定的人要成为伟人，可能性是极小的．之所以如此，一个原因是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合：父母、祖父母、外祖父母……的结合、异性的两个生殖细胞的相遇，而这两个细胞又必须含有某些产生天才的因素．另一个原因是婴儿出生以后，各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功，他所处的时代、他所受的教育、他的各项活动、他所接触的人与事以及物，都须为他提供很好的机会．虽然如此，各时代仍然伟人辈出．一个人成功的概率虽然极小，但是几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓的“必然寓于偶然之中”的一种含义．如何用概率论的知识解释说明这个问题呢？设某试验中事件A出现的概率为ε，00时，若P(A|B)=P(A)，就称事件B的发生不影响事件A的发生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)与P(A|B)=P(A)两个等式都成立，就意味着这两个事件的发生与否彼此之间没有影响．我们可以让学生主动思考是否能够如下定义两个事件的独立性：

定义1：设A，B是两个随机事件，若P(A)>0，P(B)>0，我们有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立．接下来，我们可以继续引导学生仔细考察定义1中的条件P(A)>0与P(B)>0是否为本质要求？事实上，如果P(A)>0，P(B)>0，我们可以得到：

P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是当P(A)=0，P(B)=0时会是什么情况呢？由事件间的关系及概率的性质，我们知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我们可以舍去定义1中的条件P(A)>0，P(B)>0，即如下定义事件的独立性：

定义2：设A，B为两随机事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称A，B为相互独立的事件，又称A，B相互独立．很显然，定义2比定义1更加简洁．在这个定义的寻找过程中，我们不仅能够鼓励学生积极思考，而且可以很好地培养和锻炼学生提出问题、分析问题以及解决问题的能力，从而体会数学思想，感受数学的美．5结束语通过实践我们发现，将数学史引入课堂既能让学生深入了解随机数学的形成与发展过程，又切实感受到随机数学的思想方法；把案例应用到教学当中以及在课堂上开展随机试验可以将概率论基础知识直观化，增加课程的趣味性，易于学生的理解与掌握；引导学生主动探索可以强化教与学的互动过程，激发学生用数学思想来解决概率论中遇到的问题．

总之，在概率论的教学中，应当注重培养学生建立学习随机数学的思维方法.通过教学手段的多样化以及丰富的教学内容加深学生对客观随机现象的理解与认识．另外，要以人才培养为本，实现以教师为主导，学生为主体的主客体结合的教学思想，将培养学生实践能力、创新意识与创新能力的思想落到实处，以期达到学生受益最大化的目标，为学生将来从事经济、金融、管理、教育、心理、通信等学科的研究打下良好的基础．

［参考文献］

[1]C·R·劳．统计与真理[M]．北京：科学出版社，2004．

[2]朱哲，宋乃庆．数学史融入数学课程[J]．数学教育学报，2008，17（4）：11–14．

[3]王梓坤．概率论基础及其应用[M]．北京：北京师范大学出版社，2007．

在高校概率统计教材中，从数学文化的角度对概率统计教学进行诠释已经得到数学教育界的普遍重视，教材在数学文化价值教育方面起到至关重要的作用。高校概率统计教材在数学文化教育方面也做了大量的工作，我们以盛骤等人主编的《概率论与数理统计》（第四版）、缪全生主编的《概率与统计》（第三版）和同济大学应用数学系主编的《工程数学—概率统计简明教程》三本教材（后文中分别以教材一、教材二、教材三称之）作为例子，它们在数学文化渗透方面的特点体现在：

（1）教材设计更注重生活和技术应用领域背景的渗透

在内容编排方面，每个知识点都能注意以生活实际或当前的技术应用问题作为背景予以介绍，强调知识的直观性和应用背景，强调实际问题的解决，使得学生有比较直观的认识，能提高学生的学习兴趣和学习热情。如在介绍条件概率的定义时，教材几乎都能从掷硬币、掷骰子等简单的生活实际出发，从特殊到普遍地引出条件概率的定义。内容背景涉及较多的是产品质量分析模型（如质量、寿命、含量、误差等方面），教材一和教材三比教材二涉及应用背景的面更加广泛、量更大。在例题和习题设计方面，教材注重以解决有经济、社会、工程技术等方面实际背景的问题为主，旨在提高学生的实际应用能力。在所统计的三本教材中，具有应用背景的例题占总的例题数超过了50％，习题中有应用背景的题目在50％左右，特别是以自然科学为应用背景的题目占了绝大多数

（2）紧密结合信息技术的发展，提高统计计算能力的培养

加强数理统计的内容，注重统计方法在实际工作中的应用。如增加了假设检验问题中的P值检验法和一些统计图的应用，还介绍了bootstrap方法在数据处理方面的应用。增加Excel软件和“宏”数据分析工具的使用。信息技术的发展给概率统计的研究赋予更强大的工具，没有现代的专业统计分析软件作为研究工具，概率统计问题的研究是不可想像的，在概率统计教材中适当引入统计软件的运用是必要的。虽然现在统计分析软件的功能很强大，但需要经过专业的学习才能掌握，为适应概率统计的入门使用，盛骤等人主编的《概率论与数理统计》（第四版）中就增加了Ex－cel软件和“宏”数据分析工具在概率统计中的应用，特别是在数理统计方面的运用，这对没有经过专业统计软件学习的学生和使用者有很大的帮助。

2．高校概率统计教材数学文化元素渗透中存在的问题

（1）教材中数学史的呈现太少

呈现方式不明朗数学史的学习，能使学生了解数学在推动社会发展方面和社会发展之间的相互作用，能使学生了解数学科学的思想体系、数学的美学价值和数学家的创新精神等因素。教材中的定义、定理、法则和公式都是数学家们经过上百年甚至上千年的历史锤炼后的完美逻辑体系，这种完美的形式忽略了曲折复杂的数学发现过程，但正是这种过程隐含着丰富的数学文化元素。如对概率定义的引入，三本概率统计教材几乎都是这样表达“历史上有人做过……其结果如表……”，然后在表格中列出历史上的几个有关频率的试验，甚至有些教材只是用简短的语言一带而过，然后给出概率的统计定义，紧接着就给出概率的其他定义。这样的表达，学生缺乏对概率定义公理化过程的认识，也失去了一次培养学生提高学习概率统计兴趣与热情的机会。更重要的是，概率定义的形成本身就是数学抽象化过程的典型例子，在这个过程中，学生可以体会到数学的抽象特性和方法。遗憾的是，目前高校概率统计教材中出现数学史的地方实在太少了。据统计，教材一、教材二和教材三中出现数学史的地方仅有频率的定义中提到的德摩根、蒲丰和皮尔逊等人抛硬币试验的介绍或一些试验数据；教材二在引言中则对概率论的发展历史作了一个简介。三本教材中对数理统计的历史介绍等于0，其实概率统计教材中能出现数学史的地方比比皆是，教材可以充分利用这些素材进行呈现。

（2）应用背景相对薄弱

概率统计是一门实践性强、应用性广的学科，当前高校教材都注重生活和技术应用领域背景的渗透，社会科学的应用背景相对薄弱。这样的知识呈现方式，对提高学生的学习兴趣和应用意识都有很大的帮助。但数学文化背景的方式是多样，如重要数学名人物传、数学发展事件记、重要数学成果和概率统计在社会科学方面的应用等内容，这是体现数学文化价值的一种有效方式，也是学生从中获取数学思想方法、体会数学精神和体验数学美的重要途径，遗憾的是当前高校概率统计教材在这方面还比较缺乏。

（3）多元文化缺失

概率统计已经成为现代社会、经济、管理等学科的重要工具，高校概率统计教材在体现这些领域的应用方面有较大的篇幅，但与学生相关生活文化背景的联接方面显得不够，这容易导致学生认为很多概率统计的知识与他们生活或工作相隔遥远甚至没有关联，严重影响了学生学习概率统计的兴趣和态度。

二、概率统计教材设计

中凸显数学文化的思考现行的概率统计教材的知识系统逻辑体系已经经过多年的验证，证明是可行的。数学文化视野下的教材设计目的是，如何在现行教材的知识体系中体现数学文化的元素，数学文化很大一部分是内隐的，这就要求我们不能单纯把数学文化内隐的知识部分相关内容简单地累加到教材里面去，而应该有机地结合在概率统计外显的知识内容中去。下面谈几点构想。

1．关注数学史在教材中的作用

概率统计教材的内容安排要适当兼顾知识发现的历史，使学生能够领略到数学内容发现的过程，体会到数学知识发现过程所蕴含的数学思想、数学方法和数学精神，有利于学生数学知识体系的建构和优秀品质的形成。如在介绍“概率”的定义时，教材的编排最好能介绍概率定义形成的三个历史阶段：概率的统计定义、古典定义和公理化定义。使学生在学习概率的定义时能了解概率定义形成的历史，了解贝朗特悖论的意义，得到数学螺旋上升抽象过程的感悟，掌握数学思维的方法，从而学会批判、质疑、独立和严谨的思维品质。在学习DeMoivre－Laplace定理时可以介绍DeMoivre等人在二项分布正态逼近的研究工作，这项研究是数理统计学的基础，也是概率统计思想的重要体现，重温这段历史可以启迪学生的思维、激发学生的兴趣。回归与相关分析的发现对数理统计学发展的影响是极其重大的，这个统计模型的应用，使统计学由统计描述时期进入了统计推断的时期，它促使一个严谨的统计学框架的形成，学习该知识点内容时，很有必要向学生介绍回归与相关分析的产生历程。其实，概率统计中还有很多地方可以进行数学史介绍的，学生在了解这些知识产生的过程中将会得到浓厚的数学思维熏陶。

2．强调知识与文化的有机融合

概率统计的数学文化部分呈现要以导引的形式出现，而不能把相关内容简单地累加到教材中去，从而保护学生自我探索热情，使数学文化真正植根于学生的知识建构中去。如在“概率的基本概念”部分，有必要介绍概率定义形成的三个历史阶段，但在具体的教材呈现中，没有必要把这些历史材料详细地罗列到教材中去，如果只是简单地把数学史料添加到教材里面去，只能增加教材的容量，导致教材臃肿，变成数学史的堆积而已。而应该是在循序渐进介绍概率定义的同时，适当采用简洁和引导性的语言，营造一种宽松的数学学习环境，引导学生学会自己查找相关学习资源，让学生既能感受到概率定义的发展历史，也能掌握如何通过查找资料来进一步验证和了解这种发展的详细情况的能力。又如，在“假设检验”这一章，可以介绍历史上威尔登检验骰子是否均匀的试验，但没必要陈述这个试验的详细过程，可以以问题的形式把威尔登与皮尔逊对试验结果的争论呈现出来，使学生既能了解假设检验产生的这段历史，也可以重温探索科学的过程。

在逻辑解释中，凯恩斯与卡尔纳普都采用了无差别原则作为逻辑原则。但无差别原则毫无疑问会导致悖论，例如，关于书的悖论、酒—水悖论和几何学概率的悖论。虽然对一些这样的悖论有独特的解决方法，但是没有任何普遍的方法把它们都消除掉。任何使用无差别原则的人从来都不能肯定它是否和什么时候将出现矛盾。因此，唯一安全的策略就是完全地抛弃这个原则，并且这样做意味着放弃逻辑解释——至少放弃它的传统形式。

在信息不充分的情况下，主观解释是比较适用的，因而它极大地拓宽了概率论的应用范围，使得人们的意见、判断、评价、信念等主观的东西都可以通过信念度来测量。例如1999年春夏之际，北约对南联盟进行空中打击，狂轰乱炸，久攻不下。当时人们纷纷猜测北约会不会向南联盟派遣地面部队，这种事情发生的可能性究竟有多大?我们就可以用主观信念度来表示“北约向南联盟派遣地面部队”这一事件的概率。但是，由于主观解释允许具有同样证据的不同主体对同一假说可以合理地赋予不同的概率，从而使得人们在确定初始概率或先验概率上具有相当大的主观任意性。拉姆齐认为，除了满足概率公理之外，没有什么可以唯一地确定先验概率或初始概率。主观标准的随意性遭受到了许多的批评，对于这一困难，德·芬内蒂提出了著名的“意见收敛定理”加以保证。但由于意见收敛定理必须满足的前提即所讨论事件的可换性也遭到了许多批评，这就使得人们用主观概率来表达客观概率的期望成为泡影。因而，主观主义者们绕了一个大弯又回到了起点，即对基本概率的确定是主观任意的，唯一的限制是满足概率公理。

由于频率解释把概率定义为事件在无穷序列中的相对频率的极限，因而这种解释在科学确证的过程中遇到了许多困难。例如，对于单个事件，如何确定它的概率；对于休谟问题，又是如何解决的。而性向解释(主要指长趋势性向解释)在一系列问题上明显优越于频率解释：性向解释是一种关于概念创新的非操作主义理论，这种非操作主义理论在自然科学中解释概念创新比冯·米瑟斯的操作主义更好；性向解释消除了关于无限聚合的所有问题，并且通过为概率陈述引入一种可证伪规则，这个规则对概率与十分适合标准统计实践的频率之间的关系给出了一种解释；性向解释通过把随机和独立归约为独立的排除了冯·米瑟斯对这两个不同概念的介绍；性向解释通过把概率与可重复的条件而不是聚合联结起来容许演算的更广泛应用；性向解释更符合科尔莫哥洛夫公理和对概率使用测度理论的现代数学方法，因为它容许概率作为一种未被定义的概念被引入；等等。就所有这些观点来说，我们认为性向解释已经替代了频率解释并且是当前可利用的有效的客观解释。然而，人们对性向概念的理解远不止这些，并且随着科学的发展而发展，同时又不可避免地存在各种各样的异议和含糊。

主体交互解释把概率看作是关于一个群体的共同信念度。被用来介绍主体交互概率的荷兰赌论证表明，如果这个群体同意一个共同的赌商，那么这个共同的赌商就会保护他们不被狡猾的对手打输。荷兰赌论证向群体的扩展仅仅对具有共同旨趣的群体有意义。这表明了这样的群体应该在其内部建立交流和信息流，使得他们通过讨论能够形成一致意见或主体交互概率。只有通过这种方式整个群体才能保护自己不输给狡猾的对手。但是，主体交互解释也不可避免地存在着一些问题，例如它只适用于具有共同旨趣的社会群体，而对一个缺乏共同旨趣的群体没有有效性，因为每个个体都将不关心这个群体的其他成员发生什么事情，因而每个个体将形成他或她自己的主观概率而不考虑其他人的信念；主体交互概率概念对宗教流派、政治党派等社会群体来说是合适的概念，但他们通常没有达到包含全体人类。

以上是我们对符合经典概率演算的各种解释的分析和论述。很显然，主观解释、主体交互解释以及性向解释是当前可利用的比较有效的概率解释，它们都具有一定的恰当性和可应用性，但同时它们又不可避免地存在着一定的局限性。因此，一些学者试图从语形方面对经典概率演算系统进行修改或否定来研究概率逻辑。二、非科尔莫哥洛夫概率理论

在主观解释中，贝叶斯主义者支持的更新规则是条件化：Pr更新(A)=Pr初始(AIE)(只须Pr初始)。后来，刘易斯(Lewis)对条件化给出了一个“历时的”荷兰赌论证。杰弗里(Jeffrey)条件化的规则或概率运动学将按照下式把主体的更新概率函数与初始概率函数联系起来：Pr更新(A)=∑Pr初始(AIE)Pr更新(Ei)。正统贝叶斯主义可以用下列原则刻画：(1)理性主体的“先验”(初始)概率符合概率演算；(2)理性主体的概率借助(杰弗里)条件化规则来更新；(3)对理性主体没有任何进一步的约束。

但是正统贝叶斯主义遭到了他们的批评，说它的要求过分了：它对所有命题、逻辑全知者等等指派精确概率的要求一直被有些人看作是不合情理的理想化。这就导致了对上述原则(1)和(2)的各种放宽。原则(2)可以被弱化以容许除条件化之外的概率更新的其他规则——例如，Jaynes和斯基尔姆(Skyrms)认为在相关限制的条件下，对使熵极大化的概率函数加以修改。而一些贝叶斯主义者例如厄尔曼(Earman)则放弃了概率更新完全是由规则支配的要求。对原则(1)的放宽是一个大论题，它催生了一些非科尔莫哥洛夫概率理论。下面我们将简要地介绍一些这样的系统，并指出它们与各种逻辑之间的联系。

抛弃西格马域子结构科尔莫哥洛夫把Ω子集的一个非空聚合F称为Ω上的一个西格马域，当且仅当，F在取余运算和可数的组合之下闭合。法恩(Fine)在他的《概率论》(1973)论证说，概率函数的域应该是西格马域的要求是过分地限制的。例如，人们可能拥有对于种族和性别的达成共识的有穷材料，这些材料给出了关于一个随机选定的人是男人的概率Pr(M)和这个人是黑的的概率Pr(B)充分的信息，而没有给出关于这个人既是男人又是黑人的概率Pr(M∩B)的任何信息。因此他认为，应该抛弃西格马子结构，使概率函数的域不用限制于西格马域。

抛弃精确概率每一个科尔莫哥洛夫概率都是一个单独的数字。但是，假定一个主体的意见状态并不决定单独的概率函数，而是与这些函数的积相一致。在这种情况下，人们可以把该主体的意见表达为所有这些函数的集合；并且这个集合的每一函数都合法地对应于一种确定主体意见的方法，这种方法通常与区间值概率指派相吻合，但并非一定如此。例如，杰弗里在他的《概率与判断的艺术》(1992)和莱维(Levi)在他的《知识的冒险精神》(1980)中都持这一观点。库普曼在他的《概率基础》(1980)提出了关于可能会被认为是这种区间终点的“上界”和“下界”概率的公理。沃利在《关于不精确概率的统计推理》(1991)一书中也提出了对不精确概率的扩展研究。

完全抛弃数字概率与迄今为止所假定的“定量的”概率相对照，法恩在他的《概率论》中倾向于深入探讨各种比较概率的理论，他通过形如“A至少像B那样概然(A≥B)”的陈述来举例说明这种概率。他提出了支配着“≥”的公理，并探讨了比较概率能够以科尔莫哥洛夫概率表达的条件。

否定的概率和复数值概率迪拉克(Dirac)、威格纳(Wigner)以及范曼(Feynman)等物理学家更激进地主张否定的概率。例如，范曼建议说，在一维标尺中粒子的漫射具有一个存在于给定位置和时间的概率，这个概率是由取否定值的一个量值给定的。然而，由于是取决于如何对概率作出解释，人们实际上是想说，这种函数与概率函数有某种相似性，但是当它取否定值时，这种相似性就被没有了。考克斯(Cox)在他的连续时间具有离散状态的随机过程理论中容许概率在复数中取值。缪肯汉姆(Mückenheim)在他的《对扩展概率的回顾》(1986)一书中也持同样的看法。抛弃正规化公理科尔莫哥洛夫的概率函数可以取的最大值是1，看起来是约定俗成的。然而，它具有一些非平凡的推理。与其他公理相配套，它确保概率函数至少取两个不同的值，并且概率函数存在着一个最大值是非平凡的。实际上，雷伊(Re-nyi)在他的《概率的基础》(1967)中完全抛弃了正规化假定，允许概率取“∞”值。还有一些作者放松了经典逻辑对概率的限制，容许逻辑的或必然的真理被指派小于1的概率——也许是因为他们认为逻辑的或数学的猜想可以或多或少充分地被确证。此外，科尔莫哥洛夫公理2涉及了经典逻辑隐含地假定的“重言式”概念。相反，非经典逻辑的拥护者也许想用他们青睐的“重言式”的“异常”概念(也许需要在公理化时在别的地方作相应的调整)。因此，构造主义者主张概率论建立在直觉主义逻辑的基础之上。

无穷概率科尔莫哥洛夫概率函数取实数值。许多哲学家，例如刘易斯和斯基尔姆等取消了这个假设，容许概率从分析的一个非标准模型的实数中取值。尤其是，他们容许概率是无穷的：正数但又小于每一(标准)实数。按照标准概率论，在无穷概率空间中的各种非空命题通常都会得到0概率，而这样一来，这些命题被指派正的概率实质上就会被认为是不可能的(考虑随机地选择来自[0，1]区间的一个点)。而在不可数空间里，正则概率函数不可避免要取无穷值。

抛弃可数可加性科尔莫哥洛夫最有争议的公理无疑就是连续性公理——例如，可数可加性的“无穷部分”也就是如此。他把它看作是使数学精致的一种理想化，而没有任何经验意义。德·芬内蒂在他的《概率、归纳与统计》(1972)一书中列举了一组反驳这种观点的论证。其中一个具有代表性的论证是：可数可加性要求人们对事件的不可数划分指派极端有偏的分布。实际上，对于任何δ＞0，无论多么小，都将存在着有穷数量的事件，这些事件具有至少1-δ组合概率，从而使所有的概率拥有最大的份额。

抛弃有限可加性人们甚至提出了放弃有限可加性的各种概率论(所谓非可加性概率理论)。登普斯特－谢弗(Dempster-shafer)理论按照下列规则定义一个信念函数Bel(A)：对于Ω的每一个子集A，Bel(A)就是A的子集的数之和。谢弗在《结构概率》(1981)中给出了这样的解释，假定主体将发现Ω上的某一命题，那么Bel(A)就是主体将发现A的信念度。Bel(A)+Bel(-A)不一定等于1；实际上Bel(A)和Bel(-A)从函数角度看是相互独立的，信念函数有许多与库普曼的下界概率相同的形式性质。蒙金(Mongin)在《认知逻辑与非可加性概率理论间的一些联系》(1994)中表明，认知模态逻辑与登普斯特－谢弗理论之间有着重要的联系。所谓“培根式概率”表示另一种背离概率演算的非可加性概率。一个合取式的培根式概率等于这个合取支概率的最小值。这种“概率”在形式上类似于模糊逻辑的隶属函数。科恩在《可几的与可证的》(1977)中认为它们对于测度归纳支持和评价法庭证据是恰当的。

其他学者如杰拉答托(Ghirardato)的含混背离模型、沙克尔的潜在惊奇函数、杜波依斯(Dubois)和普拉德(Prade)的弗晰(fuzzy)概率理论、施梅德勒(Schmeidler)和韦克尔(Wakker)分别提出的期望效用理论以及斯庞(Spohn)的非概率信念函数理论有助于我们进一步了解非可加性概率理论。而在杰拉答托的《不确定性的非可加性测度》(1993)和豪森《概率论》(1995)中有更多的讨论。

三、对非科尔莫哥洛夫概率理论的评析

如上所述，虽然符合经典概率演算系统的概率逻辑(即帕斯卡概率逻辑)就其本身来说是正确的，但它的效力还不够大，于是人们自然期望对帕斯卡概率逻辑放松限制，这就导致了非科尔莫哥洛夫概率理论的出现。由于非科尔莫哥洛夫概率理论抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，许多学者因而放弃了对科尔莫哥洛夫概率演算作出恰当解释的追求。根据哈克的观点，“如果一个系统与另一个系统有着共同的词汇，但却有一个不同的定理／有效推理的集合，那么，这个系统就是对第一个系统的偏离；一种异常逻辑就是一个偏离了经典逻辑的系统”。陈波也认为，“变异逻辑就是由否定或修改经典逻辑的一个或多个假定而导致的系统，它们至少在某些定理上与经典逻辑不一致”。非科尔莫哥洛夫概率理论由于对经典概率演算系统的公设或公理进行了修改或放松了限制，因而是一种异常逻辑。

具体地说，非科尔莫哥洛夫概率理论放松了帕斯卡概率逻辑对概率赋值与概率函数的限制或者否定了经典概率演算系统的某些部分。主要表现在：第一，经典概率演算系统只允许基本概率在[0，1]区间取值，而非科尔莫哥洛夫概率理论使概率的取值范围扩大了，例如，他们认为概率值可以取否定和复数值，或者他们允许概率是无穷的；第二，他们认为经典概率演算的某些部分是不可接受的，因而他们抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，比如抛弃西格马子结构、抛弃精确概率、完全抛弃数学概率、抛弃正规化公理和抛弃可数可加性；第三，由于抛弃了科尔莫哥洛夫概率演算的有限可加性，因而经典概率演算系统中的正则性、明确性和有限可加性不再成立。科尔莫哥洛夫概率系统与非科尔莫哥洛夫概率理论的关系类似于经典逻辑与相干逻辑或直觉主义逻辑的关系：因此可推断出，非科尔莫哥洛夫概率理论是帕斯卡概率逻辑的变异。

我们可以通过对沙克尔的潜在惊奇理论和柯恩的归纳支持和归纳概率分级句法理论的分析来说明非科尔莫哥洛夫概率理论是一种异常逻辑。沙克尔首先认识到：对于人文系统中的不确定试验，一般来说不可能事先构造样本空间Ω，于是他提出了第一个非帕斯卡概率理论——潜在惊奇理论来描述非分布式不确定性——即当事人不可能事先构造Ω时所面临的不确定性。潜在惊奇理论是度量x关于某一假说的潜在惊奇值和潜在惊奇值运算规则的理论。因此，它是非帕斯卡概率的主观主义解释。潜在惊奇理论具有一系列不同于帕斯卡概率的特征：(1)非分布式不确定性度量定义在不完全样本空间上；(2)在该样本空间中不存在必然事件；(3)任一属于该样本空间的事件h不发生时，～h并不必然发生，即帕斯卡概率论的互补律在此不成立。由于沙克尔的潜在惊奇理论否定了帕斯卡概率论的互补律，因而这一理论可以被看作是一种异常逻辑。

柯恩在对培根和穆勒的排除归纳法研究的基础上，独立地提出第二个非帕斯卡概率理论——归纳支持和归纳概率分级句法理论。柯恩继承了培根思想中的恰当性方面并且扬弃了卡尔纳普归纳逻辑不恰当的方面，柯恩归纳逻辑的主要特点是强调归纳逻辑与自然科学和社会生活实际的紧密联系，即注重归纳逻辑的恰当性和可应用性。他认为，归纳逻辑的形式系统应与不完全理论系统相协调。因而，他以否定的非互补律取代了否定的互补律；在柯恩的系统中，排中律不成立；关于事实问题的非帕斯卡概率不具有可加性，而只能分等级；考虑到科学实际中假说h不能作为证据，他以特有的合取原理取代了合取乘法原理。显然，所有这些表明了柯恩的归纳逻辑是一种异常逻辑。柯恩系统在法庭证明领域、科学方法论的接受理论领域、科学说明领域、性向领域以及语法理论领域都能应用，因此表明了比经典概率演算系统具有更大的可行性。

走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少购买者的共同心态。那么，购买真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：

由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。

体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。

大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。

概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。

因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。

如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。

总之，由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。

参考文献：

[1]刘书田.概率统计学习辅导[M].北京：北京大学出版社，2001.193-196.

[2]龙永红.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题[M].北京：高等教育出版社，2004.218-221.

[3]尹庸斌.概率趣谈[M].成都：四川科学技术出版社，1985.69-78.

概率理论是由帕斯卡开创，并且由科尔莫哥洛夫实现公理化的经典概率演算系统。这种理论主要是作为数学概率论而发展起来的，但人们是在最广泛的意义上使用概率概念的，对概率的解释不同，也就产生了各自有别的测定概率值的方法，由此便导致了不同类型的概率逻辑系统。于是帕斯卡概率便出现了以下几种主要的解释：逻辑解释、主观解释、频率解释、性向解释以及主体交互解释。这些概率解释都具有一定的恰当性和可应用性，但同时它们又不可避免地存在一定的局限性。具体地说：

在逻辑解释中，凯恩斯与卡尔纳普都采用了无差别原则作为逻辑原则。但无差别原则毫无疑问会导致悖论，例如，关于书的悖论、酒—水悖论和几何学概率的悖论。虽然对一些这样的悖论有独特的解决方法，但是没有任何普遍的方法把它们都消除掉。任何使用无差别原则的人从来都不能肯定它是否和什么时候将出现矛盾。因此，唯一安全的策略就是完全地抛弃这个原则，并且这样做意味着放弃逻辑解释——至少放弃它的传统形式。

在信息不充分的情况下，主观解释是比较适用的，因而它极大地拓宽了概率论的应用范围，使得人们的意见、判断、评价、信念等主观的东西都可以通过信念度来测量。例如1999年春夏之际，北约对南联盟进行空中打击，狂轰乱炸，久攻不下。当时人们纷纷猜测北约会不会向南联盟派遣地面部队，这种事情发生的可能性究竟有多大?我们就可以用主观信念度来表示“北约向南联盟派遣地面部队”这一事件的概率。但是，由于主观解释允许具有同样证据的不同主体对同一假说可以合理地赋予不同的概率，从而使得人们在确定初始概率或先验概率上具有相当大的主观任意性。拉姆齐认为，除了满足概率公理之外，没有什么可以唯一地确定先验概率或初始概率。主观标准的随意性遭受到了许多的批评，对于这一困难，德·芬内蒂提出了著名的“意见收敛定理”加以保证。但由于意见收敛定理必须满足的前提即所讨论事件的可换性也遭到了许多批评，这就使得人们用主观概率来表达客观概率的期望成为泡影。因而，主观主义者们绕了一个大弯又回到了起点，即对基本概率的确定是主观任意的，唯一的限制是满足概率公理。

由于频率解释把概率定义为事件在无穷序列中的相对频率的极限，因而这种解释在科学确证的过程中遇到了许多困难。例如，对于单个事件，如何确定它的概率；对于休谟问题，又是如何解决的。而性向解释(主要指长趋势性向解释)在一系列问题上明显优越于频率解释：性向解释是一种关于概念创新的非操作主义理论，这种非操作主义理论在自然科学中解释概念创新比冯·米瑟斯的操作主义更好；性向解释消除了关于无限聚合的所有问题，并且通过为概率陈述引入一种可证伪规则，这个规则对概率与十分适合标准统计实践的频率之间的关系给出了一种解释；性向解释通过把随机和独立归约为独立的排除了冯·米瑟斯对这两个不同概念的介绍；性向解释通过把概率与可重复的条件而不是聚合联结起来容许演算的更广泛应用；性向解释更符合科尔莫哥洛夫公理和对概率使用测度理论的现代数学方法，因为它容许概率作为一种未被定义的概念被引入；等等。就所有这些观点来说，我们认为性向解释已经替代了频率解释并且是当前可利用的有效的客观解释。然而，人们对性向概念的理解远不止这些，并且随着科学的发展而发展，同时又不可避免地存在各种各样的异议和含糊。

主体交互解释把概率看作是关于一个群体的共同信念度。被用来介绍主体交互概率的荷兰赌论证表明，如果这个群体同意一个共同的赌商，那么这个共同的赌商就会保护他们不被狡猾的对手打输。荷兰赌论证向群体的扩展仅仅对具有共同旨趣的群体有意义。这表明了这样的群体应该在其内部建立交流和信息流，使得他们通过讨论能够形成一致意见或主体交互概率。只有通过这种方式整个群体才能保护自己不输给狡猾的对手。但是，主体交互解释也不可避免地存在着一些问题，例如它只适用于具有共同旨趣的社会群体，而对一个缺乏共同旨趣的群体没有有效性，因为每个个体都将不关心这个群体的其他成员发生什么事情，因而每个个体将形成他或她自己的主观概率而不考虑其他人的信念；主体交互概率概念对宗教流派、政治党派等社会群体来说是合适的概念，但他们通常没有达到包含全体人类。

以上是我们对符合经典概率演算的各种解释的分析和论述。很显然，主观解释、主体交互解释以及性向解释是当前可利用的比较有效的概率解释，它们都具有一定的恰当性和可应用性，但同时它们又不可避免地存在着一定的局限性。因此，一些学者试图从语形方面对经典概率演算系统进行修改或否定来研究概率逻辑。二、非科尔莫哥洛夫概率理论

在主观解释中，贝叶斯主义者支持的更新规则是条件化：Pr更新(A)=Pr初始(AIE)(只须Pr初始)。后来，刘易斯(Lewis)对条件化给出了一个“历时的”荷兰赌论证。杰弗里(Jeffrey)条件化的规则或概率运动学将按照下式把主体的更新概率函数与初始概率函数联系起来：Pr更新(A)=∑Pr初始(AIE)Pr更新(Ei)。正统贝叶斯主义可以用下列原则刻画：(1)理性主体的“先验”(初始)概率符合概率演算；(2)理性主体的概率借助(杰弗里)条件化规则来更新；(3)对理性主体没有任何进一步的约束。

但是正统贝叶斯主义遭到了他们的批评，说它的要求过分了：它对所有命题、逻辑全知者等等指派精确概率的要求一直被有些人看作是不合情理的理想化。这就导致了对上述原则(1)和(2)的各种放宽。原则(2)可以被弱化以容许除条件化之外的概率更新的其他规则——例如，Jaynes和斯基尔姆(Skyrms)认为在相关限制的条件下，对使熵极大化的概率函数加以修改。而一些贝叶斯主义者例如厄尔曼(Earman)则放弃了概率更新完全是由规则支配的要求。对原则(1)的放宽是一个大论题，它催生了一些非科尔莫哥洛夫概率理论。下面我们将简要地介绍一些这样的系统，并指出它们与各种逻辑之间的联系。

抛弃西格马域子结构科尔莫哥洛夫把Ω子集的一个非空聚合F称为Ω上的一个西格马域，当且仅当，F在取余运算和可数的组合之下闭合。法恩(Fine)在他的《概率论》(1973)论证说，概率函数的域应该是西格马域的要求是过分地限制的。例如，人们可能拥有对于种族和性别的达成共识的有穷材料，这些材料给出了关于一个随机选定的人是男人的概率Pr(M)和这个人是黑的的概率Pr(B)充分的信息，而没有给出关于这个人既是男人又是黑人的概率Pr(M∩B)的任何信息。因此他认为，应该抛弃西格马子结构，使概率函数的域不用限制于西格马域。

抛弃精确概率每一个科尔莫哥洛夫概率都是一个单独的数字。但是，假定一个主体的意见状态并不决定单独的概率函数，而是与这些函数的积相一致。在这种情况下，人们可以把该主体的意见表达为所有这些函数的集合；并且这个集合的每一函数都合法地对应于一种确定主体意见的方法，这种方法通常与区间值概率指派相吻合，但并非一定如此。例如，杰弗里在他的《概率与判断的艺术》(1992)和莱维(Levi)在他的《知识的冒险精神》(1980)中都持这一观点。库普曼在他的《概率基础》(1980)提出了关于可能会被认为是这种区间终点的“上界”和“下界”概率的公理。沃利在《关于不精确概率的统计推理》(1991)一书中也提出了对不精确概率的扩展研究。

完全抛弃数字概率与迄今为止所假定的“定量的”概率相对照，法恩在他的《概率论》中倾向于深入探讨各种比较概率的理论，他通过形如“A至少像B那样概然(A≥B)”的陈述来举例说明这种概率。他提出了支配着“≥”的公理，并探讨了比较概率能够以科尔莫哥洛夫概率表达的条件。

否定的概率和复数值概率迪拉克(Dirac)、威格纳(Wigner)以及范曼(Feynman)等物理学家更激进地主张否定的概率。例如，范曼建议说，在一维标尺中粒子的漫射具有一个存在于给定位置和时间的概率，这个概率是由取否定值的一个量值给定的。然而，由于是取决于如何对概率作出解释，人们实际上是想说，这种函数与概率函数有某种相似性，但是当它取否定值时，这种相似性就被没有了。考克斯(Cox)在他的连续时间具有离散状态的随机过程理论中容许概率在复数中取值。缪肯汉姆(Mückenheim)在他的《对扩展概率的回顾》(1986)一书中也持同样的看法。抛弃正规化公理科尔莫哥洛夫的概率函数可以取的最大值是1，看起来是约定俗成的。然而，它具有一些非平凡的推理。与其他公理相配套，它确保概率函数至少取两个不同的值，并且概率函数存在着一个最大值是非平凡的。实际上，雷伊(Re-nyi)在他的《概率的基础》(1967)中完全抛弃了正规化假定，允许概率取“∞”值。还有一些作者放松了经典逻辑对概率的限制，容许逻辑的或必然的真理被指派小于1的概率——也许是因为他们认为逻辑的或数学的猜想可以或多或少充分地被确证。此外，科尔莫哥洛夫公理2涉及了经典逻辑隐含地假定的“重言式”概念。相反，非经典逻辑的拥护者也许想用他们青睐的“重言式”的“异常”概念(也许需要在公理化时在别的地方作相应的调整)。因此，构造主义者主张概率论建立在直觉主义逻辑的基础之上。

无穷概率科尔莫哥洛夫概率函数取实数值。许多哲学家，例如刘易斯和斯基尔姆等取消了这个假设，容许概率从分析的一个非标准模型的实数中取值。尤其是，他们容许概率是无穷的：正数但又小于每一(标准)实数。按照标准概率论，在无穷概率空间中的各种非空命题通常都会得到0概率，而这样一来，这些命题被指派正的概率实质上就会被认为是不可能的(考虑随机地选择来自[0，1]区间的一个点)。而在不可数空间里，正则概率函数不可避免要取无穷值。

抛弃可数可加性科尔莫哥洛夫最有争议的公理无疑就是连续性公理——例如，可数可加性的“无穷部分”也就是如此。他把它看作是使数学精致的一种理想化，而没有任何经验意义。德·芬内蒂在他的《概率、归纳与统计》(1972)一书中列举了一组反驳这种观点的论证。其中一个具有代表性的论证是：可数可加性要求人们对事件的不可数划分指派极端有偏的分布。实际上，对于任何δ＞0，无论多么小，都将存在着有穷数量的事件，这些事件具有至少1-δ组合概率，从而使所有的概率拥有最大的份额。

抛弃有限可加性人们甚至提出了放弃有限可加性的各种概率论(所谓非可加性概率理论)。登普斯特－谢弗(Dempster-shafer)理论按照下列规则定义一个信念函数Bel(A)：对于Ω的每一个子集A，Bel(A)就是A的子集的数之和。谢弗在《结构概率》(1981)中给出了这样的解释，假定主体将发现Ω上的某一命题，那么Bel(A)就是主体将发现A的信念度。Bel(A)+Bel(-A)不一定等于1；实际上Bel(A)和Bel(-A)从函数角度看是相互独立的，信念函数有许多与库普曼的下界概率相同的形式性质。蒙金(Mongin)在《认知逻辑与非可加性概率理论间的一些联系》(1994)中表明，认知模态逻辑与登普斯特－谢弗理论之间有着重要的联系。所谓“培根式概率”表示另一种背离概率演算的非可加性概率。一个合取式的培根式概率等于这个合取支概率的最小值。这种“概率”在形式上类似于模糊逻辑的隶属函数。科恩在《可几的与可证的》(1977)中认为它们对于测度归纳支持和评价法庭证据是恰当的。

其他学者如杰拉答托(Ghirardato)的含混背离模型、沙克尔的潜在惊奇函数、杜波依斯(Dubois)和普拉德(Prade)的弗晰(fuzzy)概率理论、施梅德勒(Schmeidler)和韦克尔(Wakker)分别提出的期望效用理论以及斯庞(Spohn)的非概率信念函数理论有助于我们进一步了解非可加性概率理论。而在杰拉答托的《不确定性的非可加性测度》(1993)和豪森《概率论》(1995)中有更多的讨论。

三、对非科尔莫哥洛夫概率理论的评析

如上所述，虽然符合经典概率演算系统的概率逻辑(即帕斯卡概率逻辑)就其本身来说是正确的，但它的效力还不够大，于是人们自然期望对帕斯卡概率逻辑放松限制，这就导致了非科尔莫哥洛夫概率理论的出现。由于非科尔莫哥洛夫概率理论抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，许多学者因而放弃了对科尔莫哥洛夫概率演算作出恰当解释的追求。根据哈克的观点，“如果一个系统与另一个系统有着共同的词汇，但却有一个不同的定理／有效推理的集合，那么，这个系统就是对第一个系统的偏离；一种异常逻辑就是一个偏离了经典逻辑的系统”。陈波也认为，“变异逻辑就是由否定或修改经典逻辑的一个或多个假定而导致的系统，它们至少在某些定理上与经典逻辑不一致”。非科尔莫哥洛夫概率理论由于对经典概率演算系统的公设或公理进行了修改或放松了限制，因而是一种异常逻辑。

具体地说，非科尔莫哥洛夫概率理论放松了帕斯卡概率逻辑对概率赋值与概率函数的限制或者否定了经典概率演算系统的某些部分。主要表现在：第一，经典概率演算系统只允许基本概率在[0，1]区间取值，而非科尔莫哥洛夫概率理论使概率的取值范围扩大了，例如，他们认为概率值可以取否定和复数值，或者他们允许概率是无穷的；第二，他们认为经典概率演算的某些部分是不可接受的，因而他们抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，比如抛弃西格马子结构、抛弃精确概率、完全抛弃数学概率、抛弃正规化公理和抛弃可数可加性；第三，由于抛弃了科尔莫哥洛夫概率演算的有限可加性，因而经典概率演算系统中的正则性、明确性和有限可加性不再成立。科尔莫哥洛夫概率系统与非科尔莫哥洛夫概率理论的关系类似于经典逻辑与相干逻辑或直觉主义逻辑的关系：因此可推断出，非科尔莫哥洛夫概率理论是帕斯卡概率逻辑的变异。

我们可以通过对沙克尔的潜在惊奇理论和柯恩的归纳支持和归纳概率分级句法理论的分析来说明非科尔莫哥洛夫概率理论是一种异常逻辑。沙克尔首先认识到：对于人文系统中的不确定试验，一般来说不可能事先构造样本空间Ω，于是他提出了第一个非帕斯卡概率理论——潜在惊奇理论来描述非分布式不确定性——即当事人不可能事先构造Ω时所面临的不确定性。潜在惊奇理论是度量x关于某一假说的潜在惊奇值和潜在惊奇值运算规则的理论。因此，它是非帕斯卡概率的主观主义解释。潜在惊奇理论具有一系列不同于帕斯卡概率的特征：(1)非分布式不确定性度量定义在不完全样本空间上；(2)在该样本空间中不存在必然事件；(3)任一属于该样本空间的事件h不发生时，～h并不必然发生，即帕斯卡概率论的互补律在此不成立。由于沙克尔的潜在惊奇理论否定了帕斯卡概率论的互补律，因而这一理论可以被看作是一种异常逻辑。

柯恩在对培根和穆勒的排除归纳法研究的基础上，独立地提出第二个非帕斯卡概率理论——归纳支持和归纳概率分级句法理论。柯恩继承了培根思想中的恰当性方面并且扬弃了卡尔纳普归纳逻辑不恰当的方面，柯恩归纳逻辑的主要特点是强调归纳逻辑与自然科学和社会生活实际的紧密联系，即注重归纳逻辑的恰当性和可应用性。他认为，归纳逻辑的形式系统应与不完全理论系统相协调。因而，他以否定的非互补律取代了否定的互补律；在柯恩的系统中，排中律不成立；关于事实问题的非帕斯卡概率不具有可加性，而只能分等级；考虑到科学实际中假说h不能作为证据，他以特有的合取原理取代了合取乘法原理。显然，所有这些表明了柯恩的归纳逻辑是一种异常逻辑。柯恩系统在法庭证明领域、科学方法论的接受理论领域、科学说明领域、性向领域以及语法理论领域都能应用，因此表明了比经典概率演算系统具有更大的可行性。

2问题的解决方案

2．1从整体内容上把握教材

根据《概率论与数理统计》教材，该课程整体上是讲述三个大的问题:一是概率论部分，介绍必要的理论基础;二是数理统计部分，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析的方法;三是随机过程部分，在讲清基本知识的基础上主要讨论了平稳随机过程，是随机变量的集合，能完全揭示概率的本质。课本上的很多问题都是围绕这三个问题来讲述的，因此，要打破“重理论，轻应用”“重概率，轻统计”的教学思想，且从整体上完整地对这三个问题进行讲授。由于概率论与数理统计的知识点多而零散，初学者对知识点不容易全面系统地把握，所以老师在教学中要经常引导学生进行简单复习回顾，从而使学生能够高效而快速地理解所学知识，系统掌握这有机结合的三部分内容。

2．2在讲授中要有其客观背景

很多学生虽然在中学接触过概率知识，但那只是皮毛，大学更注重的是思想的培养，而且本课程从内容到方法与其它数学课程都有本质的区别。因此，老师在讲解基本概念时，一定要把来龙去脉讲清楚。比如在评价棉花的质量时，“既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离较小，质量较好”，这些常识性知识容易理解，学生也有兴趣听，然后就此引入概念———这是由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。由此就很自然地引出了数字特征、数学期望、方差、相关系数和矩，这样学生就很好地理解了概念的实际背景。也就是说，在概念定理的教学中，首先应该在概念、定理产生的背景上下功夫，找出每个概念的实例，用大量事实来说明提出这些概念定理的客观依据是什么，它在实际应用中有什么意义。比如，一个随机变量由大量的相互独立的随机因素综合影响而形成，而且其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，那么这种现象正是中心极限定理的客观背景;再如，在介绍随机过程时，不妨从随机过程实例出发，如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化等等。如果忽视了概念与定理产生的实际背景，离开实际去讲概念和定理，学生会觉得学习内容枯燥，而且也很难理解，更不会应用于解决实际问题，这样就降低了学习的积极性，也没有发挥该课程的功能。

2．3在教学过程中使用案例教学

案例教学的主角是学生，通过学生之间对概念、定义、定理、标注、例题积极主动的讨论，以达到更深入理解和掌握的目的。在教学中引入的案例，要能够激发学生的学习兴趣、学习积极性和参与讨论的主动性。如何选取案例，就要求教师在备课当中多花时间找资料、思考，在教学案例中尽可能选取社会热点、先进的科技信息为案例素材，尤其财经类院校应尽可能编写一些涉及财经信息方面的案例。比如，讲到随机变量内容部分，定要在金融经济学中编写涉及到的随机变量的案例;讲到中心极限定理部分，投资学中期权定价理论就是一个很好的案例;讲到参数估计和评价时，保险精算中对平均寿命函数的估计和评价则是很好的案例;随机过程部分，分数布朗运动投资组合的风险度量都是很好的案例等等。如此教学，才能激发学生的学习兴趣，在讨论中逐步体会基本概念、定义、定理的来龙去脉，实现了有效学习，培养了学生解决实际问题的能力和抽象概括、推理论证的能力。

2．4重视引导学生主动思考问题

培养创新思维“在教学过程中提出一些思考性和启发性都很强的问题，让学生分析、研究和讨论，引导学生去发现问题，分析问题，然后解决问题。”学生的学习要自觉要靠自己，不是由教师牵着走，而是由教师引导走，“授人与鱼，只供一日之炊;授人与渔，使人受益终身”，所以教师应多引导、鼓励学生主动思考问题。比如，教师在每次课结束前5分钟进行下堂课新知识的介绍时，对本堂课学的知识点和前面学过的知识做个串联，最好能随手画出知识点“网络状”图，引导学生积极思考，引出下次课要讲的内容，勾起学生的预习兴趣。再如，在讲课时，教师可以针对本节课的内容设计一系列“问题链”，用“问题链”带动和完成课堂教学，可很好地引导学生主动思考、创造性思维，引导学生思考、发现问题，讨论、做出结论，从而逐步地使教学由“灌输式教育”向“创新型教育”转变，教学互动，教学相长。同时，教师一定要想方设法改变“学生被动接受知识”为自主、有兴趣地去学习知识，引导和组织学生展开讨论，鼓励学生提出大胆的猜想，及时解决学生提出的问题，激发学生的求知欲，注重教学方法的灵活运用，鼓励学生动手探究和创新，这样教学效果才会明显。

2教学的生活性

课堂教学的生活化，即通过生活中具体的实例讨论概率的应用，建立形象问题和抽象思维之间的联系。概率论与数理统计是一门实用性很强的科学，在具体实际情况和数学概念、定理、公式之间建立正确的联系，成为现在学生面临的主要难题。教师在教学过程中可以分析一些具体的实例，使学生了解怎样应用数学知识解决实际问题。比如分析问题“根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若被诊断者患有癌症，则试验反应为阳性的试验反应为阳性的概率为0.95，若被诊断者没有患有癌症，则试验反应为阴性的概率为0.95，且被试验的人患有癌症的概率为0.005，问如果被试验者反应为阳性，他患有癌症的概率为多大？”这是一个题目很长的实际问题，学生一般无从下手，解决问题的关键在于了解题目中涉及几个条件和几个随机事件，只要准确描述随机事件就可以把实际问题转化为概率问题。实际问题的多次训练有助于培养学生用数学语言描述实际问题的能力。

3教学的启发性

教学的启发性即给学生思考的时间，等学生无法想明白的时候再去开导。具体来说就是老师对上课提出的问题给出学生思考的时间，在学生主动思考之后，帮助学生开启思路。“填鸭式”，“满堂灌”的教学方法最容易使学生失去学习兴趣。孔子曰“不愤不启，不悱不发”，说的就是要启发学生思维，引导学生思路。比如，讲授全概率公式之前引入实例：有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？撇开概率知识不谈，把这个问题纯粹看成一个数学问题，也可以用中学知识解决，给学生几分钟思考的时间并适当引导学生使用数形结合的方法讨论，我们把产品在三个工厂的生产及次品情况转化为产品分布图，学生就很容易地知道从这批产品中任取一件次品的概率就是黑色椭圆区域在整个矩形内所占的比例，经过分析就可以得到全概率公式。该方法不仅能够加深学生对该问题的印象，还有助于学生对复杂全概率公式的理解。

（2）在教学过程中要将随机现象的各种形式进行数据化处理，例如，在讲到“随机变量”的概念时，可以通过丰富的实例使学生随时从网络、杂志、电视媒体中，有意识地获得一些随机数据信息，让学生理解随机数据的重要性，从而看到随机现象的规律是通过随机数据反映出来的。同时，也可以通过计算机模拟产生一组随机数，从这组随机数的不同取值说明随机变量的随机性。

（3）培养学生从统计角度思考随机现象中的各种问题，可以从身边的各种现象谈起，如心血管病是否与职业有关，人的一生是否会遇到强震，等等。从统计的角度进行分析和思考，使学生看到统计思维的合理性，从而产生对统计的兴趣，形成统计活动的良好开端。

二、收集和分析数据的作用

统计的出发点是收集数据，然后再科学的分析数据和整理数据。不列颠百科全书对统计学下了如下定义：“统计学是收集和分析数据的科学与艺术”。这就是说，统计学不仅是一门科学，而且是一门收集和分析数据的艺术，要求从数据中挖掘出新的信息，而不是死记硬套现有的公式和定理。为了突出收集和分析数据的重要性，我们在教学的过程中，可以考虑以下几个方面：

（1）首先展现给学生一系列的实际数据，比如一批电灯泡的寿命、某年级外语考试成绩等，让学生对数据有一个明确的感性认识，意识到统计是从数据出发的，先有数据，然后才有公式和定理。不同的数据具有不同的实际意义，弄清楚这些数据的分布规律和性质是统计的基本任务。

（2）强调如何有效地收集数据是统计中的重要问题，通常是从总体中抽取样本，抽样的方法是多种多样的，在教学中可以结合实例作抽样试验，比如从同一种型号的汽车中随机抽取5辆，测量每公里的耗油量；观察吞某类药物的病人的反应情况；调查部分学生的外语考试成绩；等等。

（3）分析数据是统计工作的核心，分析数据就是对数据进行加工处理，从而获取数据中关于总体的信息。通过构造各种不同的统计量，对所研究的总体进行推断，达到从部分认识全体的目的。在教学中可以通过计算机软件对数据的结构、统计量的分布作动画演示，比如数据频率直方图、经验分布函数曲线、样本均值分布直方图等，从而提高学生对分析数据的兴趣。

三、结合实例强调统计方法的重要性

概率统计是数学的一个重要分支，它的方法别具一格，无论对自然科学还是社会科学，现代统计方法是必不可少的。在教学的过程中，结合实例强调统计方法的重要性，既能加深对于概率统计理论知识的理解，又能激发学生对这门课程的兴趣，具体可从以下几个方面进行考虑：

（1）结合日常生活实例进行教学，比如统计学生中同生日的人数，随着统计人数的增加，至少有两人同生日这一事件的频率会接近于1，然后将这一结果与理论概率进行比较；统计吸烟与非吸烟人群中患肺癌的比例，检验吸烟与患肺癌是否存在某种依赖关系；观测一天中某人手机的呼唤次数，然后与泊松分布进行拟合优度检验；统计某年级的外语考试成绩，根据数据进行正态分布的拟合优度检验；等等。

（2）结合实例突出统计中的基本方法，参数估计和假设检验是进行统计推断的两种最基本的方法，其涉及的范围十分广泛，在教学的过程中应首先理解方法的基本原理和理论依据，结合典型实例进行分析，比如通过估计湖中鱼的条数，使学生了解矩法和最大似然法的原理和步骤；通过检验自动包装机工作是否正常，使学生掌握假设检验的方法步骤。

（3）结合实例系统介绍统计中的基本内容，使学生进一步认识到统计方法的实用性和广泛性，为学生在今后的学习和研究中提供广阔的应用空间。

四、从统计观点出发进行概率论的教学

“不确定性”或“随机性”是概率统计这门学科研究的对象，从统计的观点来看，“随机”并非完全“偶然”，其中蕴含内在的规律性，这种规律是对随机现象经过大量观察后得到的某种统计规律。随机事件的概率、随机变量的概率分布、数字特征等只是这种统计规律在数量上的某种刻画。目前的教学计划是先讲概率后讲统计，在讲概率时可从统计的观点出发进行概率论的教学，这样有利于对概率论中基本概念的深层次的理解和全面的把握，学生学习起来不容易出现概率和统计前后脱节的问题，有利于整门课程首尾呼应，贯穿一体，具体可把握以下几个方面：

（1）从统计的观点出发讲清楚概率论中几个最基本的概念。

（2）从统计的观点出发理解概率论中几个最基本的定理。比如从数据的分散程度理解切比雪夫不等式的含义；由频率的稳定性和观测数据的平均值的变化趋势看大数定律的意义；从大量数据的叠加的波动性理解中心极限定理的含义；等等。

（3）从统计数据出发利用现代化的教学手段进行概率论的教学。比如通过绘制数据的直方图来理解概率密度函数；由二维数据的平面散点图看相关系数的大小；通过动画演示高尔顿钉板实验来揭示中心极限定理的奥秘；等等。

概率论以及数学统计这门课程具有较强的实践性，因此，在教学课程上，教师需要在教学的基本内容中加入更多的实例教学，帮助学生理解这门学科的基本知识点，加深学生对基本理论的记忆。例如：在讲概率学中最基本的加法公式时，加入数学建模的基本思想，利用俗语“三个臭皮匠”的相关内容作为教学实例。俗语中有三个臭皮匠的想法能够比的上一个诸葛亮，意思就是说多个人共同合作的效果比较大，可以将这种实际中的问题引入到数学概率论的教学中，从科学的概率论中证明这种想法是否正确。首先需要根据具体的问题建立相应的数学模型，想要证明三个臭皮匠能否胜过诸葛亮，这个问题主要是讨论多个人与一个人在解决问题的能力上是否存在较大的差别，在概率论中计算解决问题的概率。用c表示问题中诸葛亮解决问题的能力，ai表示其中（ii=1，2，3）个臭皮匠解决问题的能力，每一个臭皮匠单独解决问题存在的概率是P（a1）=0.45，P（a2）=0.6，P（a3）=0.45，诸葛亮解决问题存在的概率是P（c）=0.9，事件b表示顺利解决问题，那么诸葛亮顺利解决问题的概率P（b）=P（c）=0.9，三个臭皮匠能够顺利解决问题的概率是P（b）=P（a1）+P（a2）+P（a3）。按照概率论中的基本加法公式得P（b）=P（a1+a2+a3）=P（a1）+P（a2）+P（a3）-P（a1a2）-P（a2a3）-P（a1a3）+P（a1a2a3）解得P（b）=0.901。因此，得出结论三个臭皮匠顺利解决问题存在的准确概率大于90%，这种概率大于诸葛亮独自顺利解决问题的概率，提出的问题被证实。在解决这一问题过程中，大部分学生都能够在数学建模找到学习的乐趣，在轻松的课堂氛围中学到了基本的概率学知识。这种教学方式更贴近学生的生活，有效的提高了学生学习概率论以及数学统计这一课程的兴趣，培养学生积极主动的学习。

2.课设数学教学的实验课

一般情况下，数学的实验课程都需要结合数学建模的基本思想，将各种数学软件作为教学的平台，模拟相应的实验环境。随着科学技术的不断发展，计算机软件应用到教学中已经越来越普遍，一般概率论以及数学统计中的计算都可以利用先进的计算机软件进行计算。教学中经常使用的教学软件有SPSS以及MABTE等，对于一些数据量非常大的教学案例，比如数据模拟技术等问题，都能够利用各种软件进行准确的处理。在数学实验的教学课程中，学生能够真实的体会到数学建模的整个过程，提高学生的实际应用能力，促进学生自发的主动探索概率论以及数学统计的相关知识内容。通过专业软件的学习和应用，增强学生实际动手以及解决问题的能力。

3.利用新的教学方法

传统数学说教式的教学方法并不能取得较高的教学效果，这种传统的教学也已经无法满足现代教学的基本要求。在概率论以及数学统计的教学中融入数学建模的基本思想并采用新的教学方法，能够有效的提高课堂教学效果。将讲述教学与课堂讨论相互结合，在讲述基本概念时穿插各种讨论的环节，能够激发学生主动思考。启发式教学法，通过已经掌握的知识对新的知识内容进行启发，引导学生发现问题解决问题，自觉探索新的知识。案例教学法，实践教学证明，这也是在概率论中融入数学建模基本思想最有效的教学方法。在学习新的知识概念时，首先引入适当的教学案例，并且，案例的选择要新颖具有针对性，从浅到深，教学的内容从具体到抽象，对学生起到良好的启发作用。学生在学习的过程中改变了以往被动学习的状态，开始主动探索，案例的教学贴近学生的生活学生更容易接受。这种教学方法加深了学生对概率论相关知识的理解，发散思维，并利用概率论以及数学统计的基本内容解决现实中的实际问题，激发了学生的学习兴趣，同时提高了学生解决实际问题的综合能力。在运用各种新的教学方法时，应该更加注重学生的参与性，只有参与到教学活动中，才能够真正理解知识的内涵。

4.有效的学习方式

对于概率论以及数学统计的相关内容在教学的过程中不能只是照本宣科，而数学建模的基本思想并没有固定不变的模式，需要多种技能的相互结合，综合利用。在实际的教学中，教师不应该一味的参照课本的内容进行教学，而是引导学生学会走出课本自主解决现实中的各种问题，鼓励学生查阅相关的资料背景，提高学生自主学习的能力。在教学前，教师首先补充一些启发式的数学知识，传授教学中新的观念以及新的学习方法，拓展学生的知识面。在进行课后的习题练习时，教师需要适当的引入一部分条件并不充分的问题，改变以往课后训练的模式，注重培养学生自己动手，自己思考，在得到基本数据后，建立数学模型的能力。还可以在教学中加入专题讨论的内容，鼓励学生能够勇敢的表达自己的想法和见解，促进学生之间的讨论和交流。改变以往教师传授知识，学生被动接受的学习方式，学会自主学习，自主探究，勇于提出自己的看法并通过理论知识的学习验证自己的想法。有效的学习方式能够调动学生学习的积极性，加深对知识的理解。

5.将数学建模的基本思想融入课后习题中

课后作业的练习是巩固课堂所学知识的重要环节，也是教学内容中不可忽视的过程。概率论统计课程内容具有较强的实用性，针对这一特点，在教学中组织学生更多的参与各种社会实践活动，重在实际应用所学的知识。对于课后习题的布置，可以将数学建模的思想融入其中，并让这种思想真正的解决现实中的各种问题，在实践中学会应用，不仅能够巩固课堂学到的理论知识，还能够提高学生的实践能力。例如：课后的习题可以布置为测量男女同学的身高，并用概率统计学的相关知识分析身高存在的各种差异，或者是分析中午不同时间段食堂的拥挤程度，根据实际情况提出解决方案，或者是分析某种水果具体的销售情况与季节变化存在的内在关系等。在解决课后习题时，学生可以进行分组，利用团队的合作共同完成作业的任务，通过实践活动完成训练。在学生完成作业的过程中，不仅领会到了数学建模的基本思想，还能够将概率统计的相关知识应用到实际的问题中，并通过科学的统计和分析解决实际问题，培养了学生自主探究以及实际操作的综合能力。