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秘密★启用前【考试时间：2024年7月3日 15:00-17:00】重庆市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1．复数满足（为虚数单位），则（　　）A．2 B．4 C． D．2．若直线的倾斜角为，则实数值为（　　）A． B． C． D．3．已知单位向量，满足，且，则向量与的夹角是（　　）A． B． C． D．4．用、、表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（　　）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．已知直线与圆交于，两点，则线段长度的取值范围是（　　）A． B． C． D．6．若的内角，，对边分别是，，，，且，则角大小为（　　）A． B． C． D．7．在正三棱台中，，，二面角的正弦值为，则的外接球体积为（　　）A． B． C． D．8．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知两椭圆和，则（　　）A．两椭圆的焦距相等 B．两椭圆的离心率相等C．两椭圆有2个交点 D．两椭圆有4个交点10．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（　　）A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为11．棱长为2的正方体中，，，，则（　　）A．三棱锥的外接球半径为B．直线与直线所成角的余弦值的最小值为C．时，过点作直线的垂面，则平面截正方体所得截面面积为D．若，则三棱锥的体积为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为________．13．等腰直角中，，，，与交于点，若，则________．14．锐角的面积为2，且，若恒成立，则实数的取值范围为________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知圆关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点．（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆交于，两点，，求直线的方程．16．（15分）已知的面积为，且．（1）求角；（2）若，，求的长度．17．（15分）五面体中，，，，均为正三角形．（1）证明：：（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．18．（17分）椭圆的对称中心为坐标原点，且与椭圆的离心率相等，焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条相互垂直的直线、，其中直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，求四边形的面积的取值范围．19．（17分）三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面．已知在空间直角坐标系中，球的半径为，记平面、平面、平面分别为、、．（1）若棱长为的正方体、棱长为的正四面体的内切球均为球，求的值；（2）如果在球面上任意一点作切平面，记与、、的交线分别为、、，求到、、距离的乘积的最小值（结果用表示）．2024年重庆一中高2026届高一下期期末考试数学参考答案一、单选题1-4．DCBA 5-8．ABBD二、多选题9．BC 10．ACD 11．ACD三、填空题12．；13．；14．四、解答题15．【解析】（1）圆，圆心，半径．若直线的斜率不存在时，的方程为满足题意； 2分若直线的斜率存在时，设的方程为，即，∵直线与圆相切，∴点到的距离等于，即．此时的方程为，即． 5分综上，直线的方程为或． 6分（2）设点，因为点与点关于直线对称，则．故点．……9分若直线的斜率不存在时，的方程为，弦长，不满足题意；若直线的斜率存在时，设的方程为，即，由圆的弦长公式．11分故．则直线的方程为或．13分16．【解析】（1）设的内角，，的对边分别是，，，则① 2分② 4分①/②，得：，∵，∴……7分（2）由（1）知：，由余弦定理，得：，即联立解得或． 10分由，得：．平方，得：或 13分从而或． 15分17．【解析】（1）证明：取中点，连接，，与交于点，连接．因为且，，，共面，故．因为且，故为平行四边形，又且，故为正方形．则为中点，且，．因为，为中点，所以，又，故，即，因为，平面，故平面， 3分又平面，故．因为且，故为平行四边形，故，又，所以， 5分又，，平面，故平面，又平面，故． 7分（2）解：因为，平面，平面，故平面，又平面，平面平面，故． 9分由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系。故，，，，由，得． 11分所以，，设平面的法向量，由，即，取平面的一个法向量，易知平面的一个法向量为， 13分记平面与平面所成角为，则。故平面与平面所成夹角的余弦值为． 15分18、【解析】（1）设椭圆的方程为，椭圆的长轴长为，离心率为． 2分∵椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为，∴． 4分∵两椭圆的离心率相等，∴．从而． 5分故椭圆的方程为． 6分（2）设四边形的面积为．①若直线、的斜率不存在或为0时，不妨设的斜率为0，的斜率不存在，易得，，此时； 8分②若直线、的斜率存在且不为0时，设的方程为，联立椭圆，消得：．则．设，，则由韦达定理有． 10分则． 12分因为直线、相互垂直，将去代替，可得．则易得，则．……16分综上所述，．故四边形的面积的取值范围为． 17分19．【详解】（1）由题意可知，球的外切正方体的棱长为， 2分设球为正四面体的内切球，如下图所示：设顶点在底面的射影为点，则为正的中心，取线段的中点，连接，则，易知，，所以，，，因为，即，故，解得， 6分所以，． 7分（2）设为球面上一点，则，在平面上任取一点，则，即，即， 9分因为平面与三个坐标平面均有交线，则，平面分别交，，轴于点、、，设到、、距离分别为、、，则，同理可得，， 12分所以，，15分当且仅当，即当，故到、、距离乘积的最小值为． 17分

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