曲面的各种表示形式

参数化曲面的目的：当原曲面积分不易计算时，可以将曲面参数化，从而简化运算 曲面S在xoy平面上的投影为区域R

参数化曲面时可以采用的坐标系： （还包括其他坐标系，这里仅列出两个）

Δ v r v \Delta v\bold{r}_v Δvrv​是在原偏向向量 r v \bold{r}_v rv​基础上进行了变化，以确保切平面的大小可以与曲面微元大小基本一致

将曲面参数化为柱面坐标的例子：

将曲面参数化为球面坐标的例子：

根据实际情况进行参数化曲面的例子： 曲面S的R在xy平面上的情况

例题：曲面由参数定义的类型 题目所求 ∬ S z d S = ∬ S 1 z d S + ∬ S 2 z d S + ∬ S 3 z d S \iint\limits_SzdS=\iint\limits_{S_1}zdS+\iint\limits_{S_2}zdS+\iint\limits_{S_3}zdS S∬​zdS=S1​∬​zdS+S2​∬​zdS+S3​∬​zdS 关于 S 1 S_1 S1​的积分为0 z = 0 ， ∬ S 1 z d S = 0 z=0，\iint\limits_{S_1}zdS=0 z=0，S1​∬​zdS=0 接下来参数化曲面 S 2 S_2 S2​，计算曲面 S 2 S_2 S2​的面积

接下来参数化曲面 S 3 S_3 S3​，计算曲面 S 3 S_3 S3​的面积

综合以上：

显式曲面：所有曲面的点被直接给出，或者可以通过映射关系直接得到–摘自：计算机图形学九：隐式曲面

显式曲面可以很轻易的采样到所有的点，但是给予你任意一点却很难判断它与曲面的关系–摘自：计算机图形学九：隐式曲面

显式曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) G ( x , y , z ) = z − f ( x , y ) G(x,y,z)=z-f(x,y) G(x,y,z)=z−f(x,y)

关于如何计算第一类曲面积分可以参考这篇文章：拉帮结派的第一类曲面积分 下图例子来自：对面积的曲面积分【小元老师】

例题：

隐式曲面 F ( x , y , z ) = c F(x,y,z)=c F(x,y,z)=c

隐式曲面不会告诉你任何点的信息，只会告诉你该曲面上所有点满足的关系–摘自：计算机图形学九：隐式曲面

隐式曲面难以采样曲面上的点，但是可以轻易判断点与曲面的关系–摘自：计算机图形学九：隐式曲面

一般地的我们会把隐式曲面的代数方程写作 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0（将右侧常数移至左侧） 例如：方程 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x^2+y^2+z^2=1 x2+y2+z2=1我们将其写为 F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0 F(x,y,z)=x2+y2+z2−1=0

∇ F ⋅ k ≠ 0 \nabla F\cdot \boldsymbol{k} \neq 0 ∇F⋅k=0 意味着梯度向量不能和单位法向量垂直，即意味着曲面不能垂直于坐标轴平面

例题：曲面为隐式曲面

例子： 例子： 计算参数化曲面的曲面积分 关于计算参数化曲面的通量的简化公式

用这个简化公式计算本题

计算等势面的曲面积分 计算薄壳的质量和矩

详见本人博客：向量场中的曲线积分、环量、通量

下图改编自：对坐标的曲面积分【小元老师】

流量：在流体运动中，单位时间内流经的某属性量 通量：在流体运动中，单位时间内流经某单位面积的某属性量

下图来自：第二类曲面积分【小元老师】 注意符号！！!(可以用曲面法向量与z轴单位向量点乘确定)

下图例题来自：第二类曲面积分【小元老师】

关于使用高斯公式计算第二类曲面积分，可以参考这篇文章：谁能快速破解第二型曲面积分？唯我高斯公式！

使用高斯公式的条件和方法

备注：末尾这里笔误，应该是第二类曲面积分与第一类曲面积分