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二次曲面
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二次曲面
空间解析几何
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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空间曲面与曲线
空间中的曲线或曲面，可以看作是空间中点的运动轨迹。
参数曲线方程
\[p(t)=(x(t),y(t),z(t))
\]
参数曲面方程
\[p(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))
\]
或者，看作是点的集合。
一般曲面方程: 满足$f(x,y,z)=0$的点$(x,y,z)$的集合形成一个曲面。
也称为隐式曲面。
一般曲线方程: 两个曲面的交线，也称为隐式曲线。
\[\begin{cases}
f(x,y,z)=0 \\
g(x,y,z)=0
\end{cases}
\]
柱面
定义 1. 一簇平行直线形成的曲面叫柱面。直线叫母线。与每条母线都相交的线叫准线。 若母线方向 $\vec u=(u_1,u_2,u_2)$， 准线的参数方程为$\vec Q(t)=(q_1(t),q_2(t),q_3(t))$，则柱面的参数方程为 \[P(s,t)=\vec Q(t)+s\vec u \]或 \[\begin{cases} x=u_1 s + q_1(t) \\ y=u_2 s + q_2(t) \\ z=u_3 s + q_3(t) \end{cases} \] 准线有无穷条，将任一条准线沿母线方向运动，都可以得到柱面。 母线与$z$轴平行的柱面方程是$F(x,y)=0$。这里，在空间中考虑问题。虽然方程中不含变量$z$，但方程是关于$(x,y,z)$的三元方程。 同样，方程$G(y,z)=0$表示母线与$x$轴平行。 方程$H(z,x)=0$表示母线与$y$轴平行。双曲柱面 锥面定义 2. 一簇过定点的直线组成的曲线叫锥面。这个定点，称为顶点。 直线称为母线。与每条母线都相交，但不过顶点的线叫准线。 将准线上的每一点与顶点作直线就可以得到锥面。 若准线方程为$\vec Q(t)=(q_1(t),q_2(t),q_3(t))$， 顶点为$\vec A=(a_1,a_2,a_3)$，则锥面方程为 \[P(s,t)=(1-s)\vec A+s\vec Q(t) \] \[\begin{cases} x=(1-s)a_1 +s q_1(t) \\ y=(1-s)a_2 +s q_2(t) \\ z=(1-s)a_3 +s q_3(t) \\ \end{cases} \]圆锥面: 准线为圆，且顶点与圆心连线垂直圆面的锥面 锥面 旋转面定义 3. 一条曲线绕一条直线旋转产生的曲面叫作旋转面。这条曲线称为子午线，这条直线称为转轴。
旋转面的参数方程和一般方程的形式通常都比较复杂。 例 1. $Oxz$平面上的椭圆 \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \\ y=0 \end{cases} \]绕$z$轴旋转，所得的曲面称为旋转椭球面。 GeoGeBra 解. 这个椭球上任意点$P(x,y,z)$， 它在过这个点，并且与$z$轴垂直的圆上，这个圆的圆心$E$在$z$轴， 半径是$r=\sqrt{x^2+y^2}$ $P$是椭圆上的点$D(\pm r, 0, z)$绕$z$轴旋转得到，因此有 \[\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \]推广到一般情况，在坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转的旋转面的方程比较容易得到。 设在$Oyz$平面上有曲线 \[L:\begin{cases} F(y,z)=0 (y>0) \\ x=0 \end{cases} \] $L$绕$z$轴旋转得到一个旋转面，则旋转面的方程为 \[F(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z)=0 \]这里的$\pm$表示至少有一种情况成立。 类似，$L$绕$y$轴旋转，得到的旋转面的方程是 \[F(y, \pm\sqrt{x^2+z^2})=0 \]例 2. 设$L$是$Oxz$平面上的双曲线 \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \\ y=0 \end{cases} \]则$L$绕$z$轴旋转所得的称为旋转单叶双曲面，方程是 \[\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \]$L$绕$x$轴旋转所得的称为旋转双叶双曲面，方程是 \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1 \]
例 3. $Oyz$平面上的抛物线 \[\begin{cases} y^2=2pz, \\ x=0 \end{cases} \]绕$z$轴旋转得到旋转抛物面，方程是 \[x^2+y^2=2pz \]
例 4. $Oyz$平面上的直线 \[\begin{cases} \frac{y}a=\frac{z}c, \\ x=0 \end{cases} \]绕$z$轴旋转得到圆锥面，方程是 \[\frac{\pm\sqrt{x^2+y^2}}{a}=\frac{z}{c} \]两边平方后，得到 \[\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \]
以二次方程表示的曲面，也称为二次曲面。二次曲面与平面的交（截口）一般是一条二次曲线。 常见的母线平行$z$轴的二次柱面 椭圆柱面： 与垂直于其母线的平面的交是一个椭圆，方程 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]当$a=b$时，得到圆柱面 双曲柱面： 与垂直于其母线的平面的交是双曲线 \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \] 抛物柱面： 与垂直于其母线的平面的交是抛物线 \[y^2=2px \] 椭球面椭球面的方程是 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, \quad a>0, b>0, c>0 \] 椭球面的一个特点是，它与平面$z=h$, $|h|0$，方程 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \]定义的曲面称为单叶双曲面(uniparted hyperboloid)。
$a,b,c>0$，方程 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 \]定义的曲面称为双叶双曲面(biparted hyperboloid)。
方程形式为 \[\frac{x^2}A+\frac{y^2}B+\frac{z^2}C=1 \] $A>0, B>0, C>0$，为椭球面。系数均为正 $A>0, B>0, C0, B0, c>0 \]所表示的曲面称为二次锥面。 易知，若$P_0(x_0, y_0, z_0)$在锥面上，则过原点$O$与$P_0$的直线 \[L: (x,y,z)=(0,0,0)+t(x_0,y_0, z_0) , \quad t\in\mathbb{R} \]均在这个曲面上，因此称为锥面。顶点在$(0,0,0)$ 用平面$z=h$(平行于$Oxy$坐标面)得到的截口为一个椭圆 \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{cases} \] 平面$y=h$或$x=h$得到的截口是双曲线。 若$a=b$，二次锥面是一个圆锥面 \[x^2+y^2-\frac{z^2}{c^2}=0 \]锥面与平面的交 锥面 椭圆抛物面方程 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z, \quad a>0, b>0 \]定义的曲面称为椭圆抛物面(Elliptic paraboloid)。 平面$z=h,\ h>0$(平行于$Oxy$坐标面)得到的截口是一个椭圆， 平面$y=h$和$x=h$得到的截口均是抛物线。椭圆抛物面、双曲抛物面 双曲抛物面方程 \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z, \quad a>0, b>0 \]定义的曲面称为双曲抛物面，它的形状像马鞍，也称为马鞍面。
平面$z=h$的截口方程是 \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=h \\ z=h \end{cases} \] 当$h>0$时，曲线是双曲线，实轴平行与$x$轴，虚轴平行于$y$轴。 当$h |
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