当k(s) \neq 0时，定义\varepsilon_2 = \frac{1}{k}\varepsilon_1^{\prime} \perp \varepsilon_1。向量\varepsilon_2称为曲线在点r(s)处的主法向量。

定义：假设k(s_0) \neq 0。由向量\varepsilon_1 和\varepsilon_2张成的经过点r(s_0)的平面，称为密切平面。

例：我们来看看圆r(\varphi) = (R \cos \varphi, R \sin \varphi)。我们来计算一下自然参数：弧长为s = R \varphi，因此就有\varphi = \frac{s}{R}。用s进行表示，我们能得到r(s) = R (\cos \frac{s}{R}, \sin \frac{s}{R})。那么

于是我们可以推证得到\varepsilon_2 = (-\cos \frac{s}{R}, -\sin \frac{s}{R})，于是曲率为k = \frac{1}{R}。

定义：如果在某一点有k \neq 0，那么值R = \frac{1}{k}称为曲率半径（在\varepsilon_2方向上）。位于密切平面上半径为R的圆，其圆心位于从曲线上的点沿\varepsilon_2方向距离R处；该圆称为密切圆。

定理2.6 曲线到密切圆上的距离是关于\Delta s的三阶无穷小。这个圆——是唯一符合该性质的圆。

证明：我们取经过点r_0的任意圆。假设k——是曲线在点r_0处的曲率，\tilde{k}——是圆的曲率。将曲线进行泰勒展开

而对于圆来说，我们有

这些对应点之间的距离等于向量\Delta r - \Delta \tilde{r}的模长：

这个值是三阶无穷小当且仅当\varepsilon_1 = \tilde{\varepsilon}_1且k\varepsilon_2 = \tilde{k}\tilde{\varepsilon}_2。由于\varepsilon_2和\tilde{\varepsilon}_2相同，所以就有k = \tilde{k}。因此我们得到的圆就和密切圆重合。

推论2.7 如果平面曲线在某点的曲率不为零，那么该点的切线位于曲线的某一侧内（这自然是对于该点的某个邻域而言）。

定理2.8 密切平面——是唯一的满足曲线上的点到它的距离是关于\Delta s的三阶无穷小的平面。

证明：取具有单位法向量为n且经过点r_0的任意平面。那么曲线到该平面的距离可以表示为

为了满足定理所描述的条件，充分必要关系是(n, \varepsilon_1) = 0且(n, \varepsilon_2) = 0，这就表明求得的平面与密切平面重合。