欧几里得《几何原本》中提出五条公设：

《几何原本》中只有第29条命题，

一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角之和等于两直角

才用到了第五公设，其他命题并没有使用到，因此一些数学家提出疑问：第五公设能否不作为公设，而作为一条定理？能否靠前四条公设证明之？因此出现了长期的关于“平行线理论”的讨论。欧氏几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，后面就有个罗氏几何（罗巴切夫斯基）讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，那么是否有“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行？”，黎曼几何就回答了这个问题。

黎曼几何中不承认平行线的存在，即在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何也被称为椭圆几何。椭圆曲线就是基于黎曼几何的“平行线理论”。

定义平行线相较于无穷远点P∞，使平面上所有直线都有唯一的交点。

无穷远点的性质：

射影平面坐标系是对笛卡尔平面直角坐标系的扩展。普通平面直角坐标系无法表示无穷远点，因此为了表示无穷远点的坐标，产生了射影平面坐标系。

射影平面点的表示：

对普通平面直角坐标系上的点A(x,y)，令x=X/Z，y=Y/Z(Z≠0)，则点A在射影平面上表示为(X:Y:Z)。

那么对于平面直角做标记上的点(1,2)，在射影平面上坐标为(Z:2Z:Z)Z≠0。

直线方程表示为aX+bY+cZ=0。

两条平行线L1: X+2Y+3Z=0与L2: X+2Y+Z=0，因为L1||L2，所以Z=0，X+2Y=0，所以无穷远点坐标为(-2Y:Y:0)。

一条椭圆曲线在射影平面满足一齐次方程——威尔斯特拉斯方程：

$Y^2Z+a_1XYZ+a_3YZ^2 = X^3+a_2X^2Z+a_4XZ^2+a_6Z^3$

的所有点的集合，且曲线上的每个点都是非奇异（光滑）的。

椭圆曲线并不是椭圆，是由椭圆曲线的描述方程类似于计算椭圆周长的方程而得名。

“非奇异”或“光滑”，可以理解为，满足方程的任意一点都存在切线。虽然有的方程满足上面的形式，但是并不是椭圆曲线。

椭圆曲线上有一个无穷远点(0:1:0)且满足方程。

如何把椭圆曲线放到平面直角坐标系呢？射影平面坐标系只多了个无穷远点，因此求出平面直角坐标系上椭圆曲线所有平常点组成的曲线方程，再加上无穷远点，就构成了椭圆曲线。

把x=X/Z,y=Y/Z代入威尔斯特拉斯方程，得到普通方程：

$y^2+a_1xy+a_3y = x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$

假设用加法符号“+”表示群操作，给定两个点及其坐标，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，计算第三个点R坐标：

P+Q=R (x1,y1)+(x2,y2)=(x3,y3)

在椭圆曲线上定义阿贝尔群，其运算法则：

任意选取椭圆曲线上两点P、Q（若P、Q两点重合，则作P点的切线）作直线交于椭圆曲线的另一点R'，过R'作y轴平行线交于R，规定P+Q=R。

相异点相加P+Q：

相同点相加P+P：

若有k个相同的P点相加，记作kP。

实数域上的椭圆曲线是连续的，并不适用于加密，考虑到加密算法的可实现性，要把椭圆曲线定义在有限域上，使之变成离散的点。

给定一个有限域Fp：

并非所有的椭圆曲线都适合加密。下面定义一类适合加密的椭圆曲线：

椭圆曲线Ep(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1]:

$y^2=x^3+ax+b(mod p)$

选择两个满足下列约束条件的小于p的非负整数a、b：

$4a^3+27b^2≠0(mod p)$

如果椭圆曲线上一点P，存在最小的正整数n使得数乘nP=O∞，则称n为P的阶，若n不存在，则P为无限阶。

在有限域上定义的椭圆曲线，所有点的阶n都是存在的。

等式Q=dG（Q，G为Ep(a,b)上的点，d为小于n（n是点G的阶）的整数），在有限域上的椭圆曲线，给定d和G，根据有限域上的加法法则，很容易计算出Q；但给定Q和G，很难计算出d。这就是椭圆曲线的离散对数难题。

点G称为基点，d为私钥，Q为公钥。