通信中相干时间与相干带宽 |
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前言一、相干时间 (Coherence Time)二、相干带宽 (Coherence Bandwidth)三、相干间隔 (Coherence Interval)四、总结
前言
本文主要介绍通信系统中有关信道的两个非常重要的参数:相干时间与相干带宽 一、相干时间 (Coherence Time)无线通信系统的信道非常复杂,所面临的环境包含了直射,反射,绕射,衍射,散射,相干,阴影等由障碍物所引起的一系列复杂的信道,这对信号的在空间中的传输造成了很大的影响,因此在很长一段时间内,对信道传输的研究是无线通信的难点。在介绍相干时间之前,我们先来回顾一下什么叫做线性时不变系统 (LTI): 假设输入信号为 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) x_1(t),x_2(t) x1(t),x2(t),输出信号为 y 1 ( t ) , y 2 ( t ) y_1(t),y_2(t) y1(t),y2(t),如果: x 1 ( t ) → y 1 ( t ) , x 2 ( t ) → y 2 ( t ) x_1(t) \rightarrow y_1(t),\quad x_2(t) \rightarrow y_2(t) x1(t)→y1(t),x2(t)→y2(t) 则有: a x 1 ( t − t 0 ) + b x 2 ( t − t 0 ) = a y 1 ( t − t 0 ) + b y 2 ( t − t 0 ) ax_1(t-t_0) + bx_2(t-t_0) = ay_1(t-t_0)+by_2(t-t_0) ax1(t−t0)+bx2(t−t0)=ay1(t−t0)+by2(t−t0) 那么我们说这个系统是线性时不变系统,LTI系统是信号与系统处理中的最常见模型,也是最简单的模型,只有在该模型下,我们才会考虑DTFT,CTFT,DFT,FFT等以及它们相关的性质才会成立。由于麦克斯韦方程的线性,系统往往是线性可加的,同时由于发送端与接收端的移动性,时不变往往是很难做到的。上述方程也只有在考虑没有移动的情况下才成立。 Definition 1. The time during which the channel can be reasonably well viewed as time-invariant is called the coherence time and denoted by T c T_c Tc (measured in seconds).从定义可以看到,在
T
c
T_c
Tc这段时间内,系统是时不变的,那么这段时间的长度跟什么有关呢?我们考虑一个两径的传播模型: 我们考虑信号的持续时间小于相干时间( T c T_c Tc),此时的系统为LTI系统,根据卷积与频域的关系,我们可以得到: y ( t ) = ∫ − ∞ ∞ d τ g ( τ ) x ( t − τ ) y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} d \tau g(\tau) x(t-\tau) y(t)=∫−∞∞dτg(τ)x(t−τ) G ( f ) = ∫ − ∞ ∞ d t g ( t ) e − i 2 π f t G(f)=\int_{-\infty}^{\infty} d t g(t) e^{-i 2 \pi f t} G(f)=∫−∞∞dtg(t)e−i2πft Definition 2. The length of a frequency interval over which ∣ G ( f ) ∣ |G( f )| ∣G(f)∣ is approximately constant is called the coherence bandwidth and denoted by B c B_c Bc (measured in Hz).可以看出,在频域内信道相应的幅值大概保持不变的一段频率称为相干带宽。现假设传输的信号为正弦信号
x
(
t
)
=
s
i
n
(
t
)
=
e
i
2
π
f
t
x(t)=sin(t)=e^{i2\pi ft}
x(t)=sin(t)=ei2πft,则有:
y
(
t
)
=
(
e
−
i
2
π
(
f
c
+
f
)
d
1
c
+
e
−
i
2
π
(
f
c
+
f
)
d
2
c
)
e
i
2
π
f
t
y(t)=\left(e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{2}}{c}}\right) e^{i 2 \pi f t}
y(t)=(e−i2π(fc+f)cd1+e−i2π(fc+f)cd2)ei2πft 信道频率响应:
G
(
f
)
=
e
−
i
2
π
(
f
c
+
f
)
d
1
c
+
e
−
i
2
π
(
f
c
+
f
)
d
2
c
=
e
−
i
2
π
f
d
1
c
+
e
−
i
2
π
f
d
2
c
\begin{aligned} G(f) &=e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{2}}{c}} \\ &=e^{-i 2 \pi f \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi f \frac{d_{2}}{c}} \end{aligned}
G(f)=e−i2π(fc+f)cd1+e−i2π(fc+f)cd2=e−i2πfcd1+e−i2πfcd2 幅值:
∣
G
(
f
)
∣
=
∣
e
−
i
2
π
f
d
1
c
+
e
−
i
2
π
f
d
2
c
∣
=
2
∣
cos
(
π
f
d
1
−
d
2
c
)
∣
\begin{aligned} |G(f)| &=\left|e^{-i 2 \pi f \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi f \frac{d_{2}}{c}}\right| \\ &=2\left|\cos \left(\pi f \frac{d_{1}-d_{2}}{c}\right)\right| \end{aligned}
∣G(f)∣=∣∣∣e−i2πfcd1+e−i2πfcd2∣∣∣=2∣∣∣∣cos(πfcd1−d2)∣∣∣∣ 这是跟中心频率没有关系的表达式。由上图可知,我们定义 B c B_c Bc为: B c = c ∣ d 1 − d 2 ∣ H z B_{\mathrm{c}}=\frac{c}{\left|d_{1}-d_{2}\right|} \quad \mathrm{Hz} Bc=∣d1−d2∣cHz 因此我们希望在这段长度的频率范围内,信道幅值响应是一个比较恒定的值。在实际的场景中,信道更加复杂,这里的分母被定义为在所有传播路径中差别最大的路径。当信号的带宽小于相干带宽时,我们认为信号是不会发生失真的。同样相干带宽的倒数我们定义为时延拓展 (Time spread), g ( t ) g(t) g(t)也被限制在时延拓展之内,相似地,当信号的带宽小于相干带宽,或者说信号的传输时间(周期)大于时延拓展(信号之间没有干扰),我们认为信号是没有失真的。 三、相干间隔 (Coherence Interval) Definition 3. A time-frequency space of duration T c T_c Tc seconds and bandwidth B c B_c Bc Hz is called a coherence interval.信号在时频域同时满足相干时间与相干带宽的,称之为相干间隔。我们定义一个相干间隔的长度为:
τ
c
=
B
c
T
c
samples.
\tau_{\mathrm{c}}=B_{\mathrm{c}} T_{\mathrm{c}} \quad \text { samples. }
τc=BcTc samples.
B
c
B_{\mathrm{c}}
Bc 表示频率,即单位时间采样了多少个点,一共采样了
T
c
T_{\mathrm{c}}
Tc 秒,因此这里可以理解为样本的个数。下图给出了一些参考的数据: 以下针对相干时间与相干带宽做一下总结: 不管是相干时间还是相干带宽都是描述的信道参数。相干时间反映的是信道的时间色散效应,其实就是指的是,信道所能保持不变的最大时间间隔,因此我们要保证信号的持续时间小于相干时间。相干带宽反映的是信道的频率色散效应,其实就是指的是,信道所能保持不变的最大频率间隔,因此我们要保证信号的带宽小于相干带宽。相干时间是描述多谱勒扩展的,如上述所说,相干时间其实是由多普勒频移所造成,多普勒频移又是由相对运动产生的,它与相干时间是呈倒数关系。相对运动越快,多普勒频移越大,相干时间就越小。相干带宽是描述时延扩展的,如上述所说,相干带宽其实是由多径所造成,正是因为存在多条路径,才会有不同的延时,它与相干带宽是呈倒数关系。差别最大的延时相差越多,时延拓展越大,相干带宽就越小。定义相干时间一般是用来划分时间非选择性衰落信道和时间选择性衰落信道,或叫慢衰落信道和快衰落信道的量化参数。如果信号的周期大于相干时间,则信号经历快衰落,表示信道在符号周期内发生了变化,此时信道的均衡与估计都很难,反之则是慢衰落。定义相干带宽一般是用来划分平坦衰落信道和频率选择性衰落信道的量化参数。如上所说,如果信号的带宽大于相干带宽,则信号将会经历频率选择性衰落,反之则是平坦衰落。在相干时间内,两路信号受到的传输函数也是相似的特性,通常发射的一路信号由于多径效应,有多路到达接收机,若这几路信号的时间间隔在相干时间之内,那么他们具有很强的相关性,接收机都可以认为是有用信号,若大于相干时间,则接收机无法识别,只能认为是干扰信号。当两个发射信号的频率间隔小于信道的相干带宽,那么这两个经过信道后的,受到的信道传输函数是相似的,由于通常的发射信号不是单一频率的,即一路信号也是占有一定带宽的,如果,这路信号的带宽小于相干带宽,那么它整个信号受到信道的传输函数是相似的,即信道对信号而言是平坦特性的,非频率选择性衰落的。 |
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