1．参考解答：根据光速不变原理，不论光源和观察者如何运动，光速都是 c，始终不变。

命题意图：通过具体例子理解光速不变原理。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

2．参考解答：根据相对性原理，物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式，因此在平稳行驶的游轮上的密闭船舱内做物理实验，将得到与地面实验室完全一致的结果。

命题意图：通过具体例子理解相对性原理。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

3．参考解答：因为车站上和列车上的观察者看到闪光都以光速传播，所以列车上的观察者认为闪光将同时到达车头和车尾。但车站上的观察者看来，闪光传播时列车同时在向前运动，因此闪光到达车头的距离与到车尾的距离不同，所以在车站上的观察者看来，闪光不是同时到达车头和车尾。

命题意图：通过具体例子理解同时的相对性。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

4．参考解答：因为运动时钟变慢，运动员的计时器记录的时间要比 19.7 s 稍短。

命题意图：通过具体例子理解狭义相对论的时钟变慢。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

5．参考解答：因为运动方向长度缩短，站台上的观察者测得的列车长度略小于 201.4 m。

命题意图：通过具体例子理解狭义相对论的长度缩短。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

6．参考解答：到目前为止，广义相对论的预言已经被水星近日点进动、光经过太阳时的偏折、引力场中的谱线红移、引力场中的时钟变慢和引力波等实验和观测所证实。

命题意图：对广义相对论的实验验证进行小结。

主要素养与水平：证据（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

洛伦兹变换

从狭义相对论的两条基本原理出发，可以导出两个惯性系之间的变换，即洛伦兹变换。假设惯性系 S′ 系相对另一个惯性系 S 系沿 x 轴方向以匀速勘运动，则有变换

\[\begin{array}{l}x' = \frac{{x - vt}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\\y' = y\\z' = z\\t' = \frac{{t - \frac{{vx}}{{{c^2}}}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\end{array}\]

不难导出更一般的洛伦兹变换。由于运动是相对的，在上式中令 v 变为 − v，即可得到反变换

\[\begin{array}{l}x = \frac{{x' + vt'}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\\y = y'\\z = z'\\t = \frac{{t' + \frac{{vx'}}{{{c^2}}}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\end{array}\]

从洛伦兹变换可以很容易得出同时的相对性、时间膨胀及长度缩短的结论。显然，当 v ≪ c 时就回到伽利略变换。

如果只考虑沿 x 方向的运动，则物体在 S′ 系中的速度为 u′ = \(\frac{{{ \rm{d}}x'}}{{{\rm{d}}t'}}\)，在 S 系中的速度为 u = \(\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}}\)，由洛伦兹变换可得狭义相对论的速度合成公式

\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u'v}}{{{c^2 }}}}}\]

由上式可见，通过速度合成不可能得到大于光速的速度，并且当 u′ = c 或 v = c 时，立刻就得到 u = c。

质能方程

如果将初始静止的物体由于外力对其做功获得的能量定义为该物体的动能，则可以推出

\[\begin{array}{l}{E_k} = \int_0^v {{\bf{F}} \cdot {\rm{d}}{\bf{r}} = } \int_0^v {\frac{{{\rm{d}}{\bf{p}}}}{{dt}} \cdot {\rm{d}}{\bf{r}} = } \int_0^v {{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}(mv) = } \int_0^v {m{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}{\bf{v}} + {\bf{v}} \cdot {\bf{v}}{\rm{d}}m = } \\ = \frac{1}{2}\int_0^v {\left[ {\frac{{{m_0}{\rm{d}}{v^2}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} + \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} \cdot \frac{{{m_0}{\rm{d}}{v^2}}}{{{{\left( {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right)}^{3/2}}}}} \right] = } \int_0^v {{m_0}{c^2}{\rm{d}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}} \right)} \\ = \frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} - {m_0}{c^2} = m{c^2} - {m_0}{c^2}\end{array}\]

其中，m0c2 是物体静止时具有的能量，称为静能，而

E = mc2 = Ek + m0c2

为物体具有的总能量，此即爱因斯坦质能关系或质能方程。

爱因斯坦场方程

广义相对论中最重要的方程是爱因斯坦场方程

\[{R_{\mu \nu }} - \frac{1}{2}R{g_{\mu \nu }} = \frac{{8\pi G}}{{{c^4}}}{T_{\mu \nu }}\]

这一方程描述了时空性质与物质分布之间的关系。其中，gμν 为描述时空性质的度规张量；Rμν 为里奇张量，R 为曲率标量，两者都是由度规张量及其导数构成的量，反映了时空的几何性质；Tμν 为物质分布的能量动量张量，反映了物质在空间的分布。这是一个很复杂的微分方程，广义相对论的所有结果都是从这个方程来的。在弱场近似下爱因斯坦方程就回到牛顿的引力方程。

广义相对论和牛顿引力理论在描述引力相互作用的方式上是不同的，按照牛顿理论，任何两个质量不为零的物体之间存在万有引力而互相吸引。而按照广义相对论，质量分布造成空间的弯曲，物体则是在弯曲空间中运动。如果用弹性膜来比喻时空，设弹性膜上有黑、白两个光滑的球，黑球质量较大，白球质量较小，如图 1 所示。黑球因质量较大使得弹性膜变形弯曲，白球由于质量较小，放在弹性膜上几乎不改变膜的性质。显然，如果白球初始静止，将很快滑向黑球。按照牛顿理论，这是因为两个球之间存在万有引力。而按照广义相对论，则是因为空间（弹性膜）的弯曲。也就是说，广义相对论中并不存在引力，有的只是时空的弯曲，引力相互作用被几何化了。