无穷小量与无穷大量的阶 |
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1.无穷量可分为高阶无穷,同阶无穷和等价无穷 2.等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况,等价无穷大是同阶无穷大的特殊情况 3.任何x阶数都是一个无穷小量的高阶无穷小,则这个无穷小记为o(1) 4.两个高阶无穷小量相加或相减后依然为高阶无穷小 5.在含有多个高阶无穷的式子中,其极限由最高阶无穷大量或最低阶无穷小量决定 我们提到过以0为极限的变量称为无穷小量,这个变量可以是数列也可以是函数。但需要注意两种表达: 今天,我们继续深入研究无穷小量以及与其相对的无穷大量。 1 第一种情况,是说明u(x)趋于0的速度比v(x)趋于0的速度要快得多,阶数越高,速度越快。因此称为u是v的高阶无穷小,反过来,称v是u的低阶无穷小。举两个例子: 例1 例2 对于第二种情况,表明u和v趋近于0的速度在一个量级上,趋向的速度差不多。举个例子: 例3 注意,这里的u和v不一定是同阶无穷小,因为也有可能u是v的高阶无穷小。 例4 对于第三种情况,等价无穷小其实相当于同阶无穷小的一种特殊情况,是最重要的一类无穷小,它表明u与v趋向于0的速度是一致的,比如第一类重要极限: 注意,这时候并不是说sinx与x是相等的,它们还是有差距的,它们相差一个关于x的高阶无穷小: 再举两个例子。 例5 例6 这里,要注意的是,当x趋于0时,sinx与x,tanx与x都相差一个关于x的高阶无穷小,但是它们两个是不一样的。所以下面的逻辑是错误的: 关于x的两个无穷小量进行加减运算后,依然是关于x的无穷小量: 关于无穷小量的阶,还有两点需要注意。首先,一般来说v(x)表示为: 其次,有一类特殊的无穷小——任意阶数的x都是它的高阶无穷小,记为o(1),举个例子: 注:下面证明这个结论。 2 有无穷小量的阶,相对的也有无穷大量的阶。 在数列极限中,我们有下面不等式成立: 且它们都是无穷大量。基于此,我们可以得到很多高阶无穷大量,比如: 我们来看一个等价无穷大量的例子: 现在,我们来证明上一小节的极限。 由上面启发,可以得到下面结论: 3 对于无穷量的阶,我们最关心的是等价量。因此,有必要熟悉常用的等价量。 三角函数等价量 对数函数等价量 指数函数等价量 幂函数等价量 最后,对于一些较简单的复合函数的等价量,记住一句口诀:无穷大量看高阶,无穷小量看低阶.先看两个例子 例7 例8 这两个例子说明,在无穷小时,阶数低的项其作用,因为高阶项趋向0的速度比低阶的快得多,最终的极限由低阶项决定。相对的,讨论无穷大时,高阶项起作用,因为高阶趋于无穷的速度比低阶的快得多。在数列极限中,我们已经探讨过了: 4 我们利用等价量来求一些复杂函数的极限,先给一条定理。 例9 例10 例11 例12 最后一个等式的形式,我们以后会重点研究,它就是著名的泰勒展开公式。这里先稍微带过。 |
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