在高等数学的极限部分，我们学习了利用等价无穷小解决七种未定式的方法。然而在很多情况下，一些老师怕同学们混淆，便告诉同学们只能在乘除中利用等价无穷小，而在加减中是不能使用的。这其实涉及到了一个阶的问题，如果把握好阶数，那么我相信在加减中使用也不是什么问题了。

这涉及到了两个前提：

①泰勒公式实际上是一个函数的幂级数展开式：在极限计算中利用的是带Peano余项的麦克劳林展开式，即

它的余项为o（x^n）。由幂级数的形式可见，展开项越多，次数越高，越是高阶无穷小，而在极限计算过程中是不需要这些项的。

②等价无穷小实质上是泰勒公式的低级表现形式。但是在考研数学的一些情况中，利用等价往往比展开更为简便，我会在下面的应用中举例。

我们有了这两个前提，便对等价无穷小有了一个清楚的认识。下面来说明加减中何时可以使用等价来解决问题。

这个规则放前面：设f(x)，g(x)，h(x)···等为只有一项的初等函数，那么它们进行加减运算后利用等价后，只要结果不为0,便可直接使用等价后的结果。

证明：

注意：此处的等价指的是只有一个函数的等价，比如sinx~x  1-cosx~(1/2)x^2.

有人可能会问了，那直接展开不就完了吗？低阶保留高阶去掉。所以有以下几个不容易展开的函数，使用这个结论就可以快速化简式子或计算出结果。

（以下两个应用均为x趋于0时）

应用一：嵌套函数

类型一：f(g(x))/x^型，此类型直接使用等价即可。

类型二：f(g(x))-p(q(x))型：

这里要求g（x）和q（x）都趋于0，我们不能直接使用等价得出g(x)-q(x)一定不等于0，首先把整体看作f(ロ)-q(ロ)，展开到f(x)-q(x)的阶数，一层一层地去掉外套，从而得出最后结果。

这里我举一道汤老师《接力题典1800》强化篇的极限题。

此时若直接将分母等价为sinx-tanx，便会得出-1/2的错误结果，原因是被丢掉的sinx与tanx的三次方项也带有x的三次方，它并不是x^3的高阶无穷小，不能省略。

解决方法就是将tan(口)-sin(口)展至三阶，便有了如下过程：

而汤老师的答案就非常复杂。

类似的有很多其他嵌套函数，都可以用此方法快速化简。

应用二：展开式较复杂的函数：

主要是a^x-1   (1+x)^α 这两个函数 有等价无穷小，但是展开式比较复杂。

如a^x-1-sinx~(lna-1)x   此处a≠e    （1+x）^α-1+a^x~(α+lna）x 此处a≠-e^α

甚至可以嵌套一个较复杂的函数，比如sin（tan[(1+x)^α-1])-x。

总之，函数千变万化，抓住不变的点才是化简的关键。

希望以上内容能为大家的考研数学复习带来帮助，不足之处请不吝批评指出，谢谢。