最近在进行一些公式推导时常常被高阶无穷小这个概念折磨的崩溃。高阶无穷小的定义我也看懂了，但是看别人推导公式时突然出现一个高阶无穷小量，仍然看的的我一脸懵逼。通过一天的探究（折磨），终于把高阶无穷小这个概念给弄懂了，原来它是一个集合，并不是一个可以直接纳入代数运算的量，现在将其记下来以帮助以后有类似困惑的人，看完这个博客你至少能解锁如下技能：

1、高阶无穷小到底是个啥玩意

2、再也不用背高阶无穷小的计算公式了

3、进行公式推导或计算时也莫名其妙的给个高阶无穷小把痛苦和迷惑留给别人

一、高阶无穷小到底是啥玩意

为了能让公式更好写，下面所有的lim指的都是x趋向于0时的极限。根据高阶无穷小的定义，若limf(x)=0,limg(x)=0(g(x)不等于0),且

lim[f(x)/g(x)]=0,则称f(x)是g(x)的高阶无穷小，记作f(x)=O(g(x))。看到这你是不是以为O(g(x))等于一个函数？错！O(g(x))等于一个极限，别忘了公式中有一个大的前提就是x趋向0，这是我们最容易搞糊涂的地方，一定要记住O(g(x))=limf(x)，或者你以后看到公式中有高阶无穷小量，那么说明这个公式一定是在一个极限的大条件下进行推导的，可能公式里面不会带上极限符号（图省事），但是这个公式的前提条件一定是某个极限过程！切记！

那么高阶无穷小到底是啥玩意呢？假设O(g(x))=limf(x)，若g(x)=x^n,那么f(x)就可以等于x^(n+1),x^(n+2),x^(n+3)....,总之f(x)只需要确保在极限过程中趋向于0，且比g(x)高阶的函数就可以了，这里高阶的情况有好多种，比如幂的次方更高，或者因式分解后出现了幂的次方更高的项，最笨的方法就是直接使用定义lim[f(x)/g(x)]=0，只要满足这个等式f(x)就是g(x)的高阶无穷小，一般的

上面是最关键的地方就是O(g(x))的值是一个集合。读者可以细细品味。因为它是一个集合，所以O(g(x))可以为集合里面的任意一个元素，集合里面任意一个元素也都可以表示为 O(g(x)) ，我们在公式推导或证明的时候就可以拿集合里面最简单的元素来进行推导。

二、高阶无穷小的计算的解释

1、O(x^m)[+/-]O(x^n) = O(x^n)   (m>n)

思路：O(x^n)等于一个集合，不妨从集合里面拿出一个最小的即lim[x^(n+1)],同理O(x^m)拿出lim[x^(m+1)]

lim[x^(n+1)]+lim[x^(m+1)] = lim[x^(n+1)(1+x^(m-n))]

 lim[x^(n+1)(1+x^(m-n))]明显是 O(x^n)对应的集合中的一个元素

类似的：O(x^m)-O(x^n) =lim[x^(n+1)(x^(m-n)-1)]

lim[x^(n+1)(x^(m-n)-1)]也是 O(x^n)对应的集合中的一个元素（因为m大于n）

因为我们是从集合中拿的最小的元素，最小的元素都成立那么拿其他元素上式子肯定也成立。

2、O(x^m)/O(x^n) = 0   (m>n)

相同的思路：O(x^m)/O(x^n)=lim[x^(m+1)]/lim[x^(n+1)]

=lim[x^(m)/x^(n)]=lim[x^(m-n)]=0

相同的方法可以解释高阶无穷小的其他计算

三、特别要注意的

1、高阶无穷小的前提是在一个极限过程中才会出现，如果你的公式的大前提不是一个极限过程，那么高阶无穷小就不会有任何含义。

2、高阶无穷小是一个集合，它可以等于集合中的任意一个元素，集合中的任意一个元素都属于对应的高阶无穷小，由于高阶无穷小不参加具体的计算（通常用作最终结果的评估），所有我们可以直接用高阶无穷小表示它所代表的集合中的任意一个元素。可以理解为，一个代数计算如果属于某个高阶无穷小，那么你就可以把这个代数计算用它所对应的高阶无穷小（O(g(x))）来表示，这样这个代数计算就可以不参加公式中其他具体的代数运算了（计算更省事），最终结果只要对公示中的高阶无穷小进行相应的评估就行了。（具体操作可以去看看佩亚诺（Peano）余项泰勒公式推导过程）