计算极限的时候,什么情况下可以用等价无穷小替换 |
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不知道大家在学习泰勒公式的时候,对泰勒公式和无穷小等价替换有没有很迷的时候,额,我有,在求极限的题目中,有的时候是可以使用无穷小等价替换,但是有的时候一用就错,但是一直都没有太纠结什么原因,一直以为是因为自己没有想到那一点,可能不用等价替换更加容易吗,今天终于有一个题目,让我想去百度一下计算极限的时候什么情况下可以用等价无穷小呢? 先来看一个例题: 设 lim x → 0 ln ( 1 + x ) − ( a x + b x 2 ) x 2 = 2 , 求 常 数 a , b ? \lim\limits_{x\rarr0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2,求常数a,b? x→0limx2ln(1+x)−(ax+bx2)=2,求常数a,b? 看到这个题目,我想到的就是把ln(1+x)直接等价为x,明显可以看出来,a=1,b=-2,我们都不用动笔,就看出来答案了,肯定有蹊跷,果不其然求出来就是错的,但是a的值是对的,我一想,我不去查一下,以后还会碰到,万一考场遇到,就是5分啊,分值这么庞大,吓得我赶紧百度了。答案用的就是泰勒公式展开,放一下泰勒公式 l n ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + ∘ ( x 3 ) ln(1+x)=x-\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{1}{3}x^3+\circ(x^3) ln(1+x)=x−21x2+31x3+∘(x3) 因为是A-B型的,适用于“幂次最低原则”,应该有小伙伴不知道什么叫做“幂次最低原则”,就是,将A,B展开到它们的系数不相等的x的最低次幂,其实不用幂次最低原则,也能看出来展开到x的平方项就可以了,后面的高次项直接去掉,那么其实在本题中 l n ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + ∘ ( x 3 ) ln(1+x)=x-\tfrac{1}{2}x^2+\circ(x^3) ln(1+x)=x−21x2+∘(x3) 其实高阶无穷小也可以不用管,如果是选择,填空的话,这样算出来,a=1,b=-5/2,结果不一样的原因就是我用了等价无穷小,答案用的是泰勒公式展开,那么问题就出现在这里了。 大家百度一下等价无穷小的定义,如果用同济第七版课本,书上好像没有使用等价无穷小的条件: 第二条:被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。 额,问题就出在加减!!!只要在加减运算的时候就不能直接用等价无穷小替换,害,我一直迷迷糊糊,终于搞明白了,希望大家也不要犯错误了 |
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