高等数学:第一章 函数与极限(4)无穷小与无穷大 |
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§1.5 无穷小与无穷大 一、无穷小 1、无穷小的描述性定义 如果函数 2、无穷小的精确定义
成立,则称函数 无穷小并不是一个全新的概念,仅仅是在自变量的变化过程中,函数以零为极限。只是由于这类极限在高等数学中具有其特殊的地位,我们宁愿赋予它这一术语。 3、函数极限与无穷小的关系 【定理】 在自变量的同一变化过程 反之,如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式, 则该常数就是函数的极限。 【证明】设 令 即 反过来, 设 因 从而有 即 ( 类似地可证明 二、无穷大 1、无穷大的描述性定义 如果函数 2、无穷大的精确化定义
成立,则称函数 无穷大是一个全新的概念,对它的理解应注意如下几点: (1)、据函数极限定义,若函数当 (2)、若将定义中 或 3、无穷小与无穷大的关系 【定理】 在自变量的同一变化过程 反之,如果 这一定理所陈述的事实是显然的, 证明从略。 【例】试证明: 证明: 可取 成立,故 这一极限具有十分显著的几何特征,它表明: 直线 用matlab作出该函数在区间[0,1]上的图形(事实上是[0,0.995])上的图形,可以清楚地看出这一点。 不难将这一事实推广到一般 若
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