1.两个旋转矩阵的合成R1R2还是一个旋转矩阵

2.一般R1R2≠R2R1

行列式det ( R ) = 1检测(�)=1个对于所有旋转矩阵。

旋转矩阵的转置是它的逆矩阵：R吨=R− 1�吨=�−1个， 或者RR吨=R吨R =我��吨=�吨�=我.

向量范数在旋转下是不变的。

一步是计算任意系统和控制系统中由三点形成的平面的法向量。法向量，n, 被定义为垂直于平面的矢量，如图C-11a所示。它可以通过使用等式计算。(C-44)，点 1 到点 2 的向量 ( p 12 ) 与点 1 到点 3 的向量 ( p 13 ) 的叉积。法向量相对于原点的分量如图C-11b所示。

为了获得最佳结果，应选择用于计算法向量的三个点，以便它们具有三点所有可能组合中最强的几何配置。这可以通过选择最不共线的三个点来实现。最不共线的点是那些形成具有最大高度h 的三角形的点，h是从最长边到不在该边的点的垂直距离。这在图 C-12中进行了说明。高度的平方公式——其中a是三角形最长边的长度——如方程式 1 所示。（C-45）。

(C-45)

图 C-12由三个点组成的三角形的高度h

法向量从任意坐标和控制坐标的倾斜度是它们与垂直方向（即负z轴）的角度的大小。法向量的方位角是它投影到x - y平面上的方位角。这些角度的值可以使用方程式计算。(C-46)和(C-47)来自图C-11b所示的法向量的分量。请注意，方程式中必须使用整圆反正切。(C-47)以获得适当的象限。

(C-46)

(C-47)

对于任意坐标系和控制坐标系，形成旋转矩阵，其中倾斜和方位角是在步骤 2 中计算的那些，摆动设置为零。方程式 (D-28)可用于执行此操作。然后可以将这些矩阵应用于两个系统中的两个点，导致点之间的线是水平的，即具有相等的z值。

使用步骤 3 中的旋转点计算旋转线的方位角。这些线的方位角差是将旋转的任意系统与旋转的控制系统对齐所需的摆动。这个中间摆动是使用等式计算的。(C-48)。

(C-48)

使用步骤 3 中任意系统的倾斜和方位角以及在步骤 4 中找到的摆动形成旋转矩阵 M a。同样，在步骤 3 中找到的控制系统的倾斜和方位角（摆动设置为零）用于形成M c。为了形成整体旋转矩阵，我们将M c乘以M a的转置，如等式 1 所示。(C-49)。

(C-49)

然后可以使用第 1 节中描述的方法从M中获得旋转参数 omega、phi 和 kappa 。D-10。

示例 C-4

需要初始近似来求解从近距离立体模型到物体空间系统的 3D 共形坐标变换。给定以下控制和任意坐标，找到所有七个变换参数的初始近似值：

Point

(Control) X, m

(Control) Y, m

(Control) Z, m

(Arbitrary) x, mm

(Arbitrary) y, mm

(Arbitrary) z, mm

101

620,466.563

96,132.223

7.050

–89.956

22.278

–80.038

102

620,447.868

96,128.214

7.669

–91.672

26.623

–16.375

103

620,450.483

96,110.658

5.331

–33.237

15.477

–10.528

104

620,460.222

96,155.033

6.250

–168.921

24.411

–77.641

解决方案可以使用以下步骤找到转换参数的解决方案：

步骤1：首先，方程式。(C-45)用于查找最佳几何配置点。构成高度最大的三角形的点是101、102和104，在控制坐标中h = 15.303 m。因此，选择这些点来计算变换参数的初始近似值。任意坐标的法向量，na是使用等式找到的。（C-44）。

同样，控制坐标的法向量，nc , 如下：

第2步：使用等式计算每个法线矢量的倾斜和方位角。(C-46)和(C-47)：

第 3 步：使用方程式中的方法形成两个旋转矩阵。D-28以及在步骤 2 中找到的倾斜和方位角（摆动设置为零）。然后将矩阵应用于两个系统中的点 101 和 102，产生两对点的坐标，这些点与x - y平面水平。

任意系统中的第101和102点：

控制系统中的101和102点：

步骤4：旋转线之间的摆动，即步骤 3 中旋转点之间的方位角差异，使用等式计算。(C-48)。

第 5 步：旋转矩阵M c与步骤 3 中控制坐标上使用的相同。M a是使用步骤 2 中的倾斜a和方位角a以及步骤 4 中计算的摆动形成的。这些用于计算整体旋转矩阵。

在第二节中描述的方法。然后使用D-11获得ω、ϕ和κ。

可以通过取两个坐标系中每对公共点之间距离的平均比率来获得比例的近似值，这导致s = 0.2997。平移的近似值可以通过取平均值找到

使用所有公共点，结果T X = –620,450.008 m，T Y = 96,100.010 m，T Z = 1.185 m。

使用这些初始近似值，对变换参数的第一次迭代修正是

这些小的修正表明初始近似值非常接近最终值。

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