群的定义：如果一个独异点中每一个元素都存在逆元，则该代数系统是一个群。

群的解释：换句话说，当一个代数系统中存在幺元，运算本身满足封闭性和可结合性，并且代数系统中的每一个元素都存在逆元时，该代数系统就是一个群了。群是从广群→半群→独异点的进一步扩展。

剩余类的定义：设模为n，则根据余数可将所有的整数分为n类，把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a]。 剩余类的性质：

饰带群的四种对称运动：

有限群和无限群的定义：

平凡群的定义：只含有幺元的群被称为平凡群。

一阶、二阶和三阶的群都只有一个：可以看出三阶群中除了一个幺元外，另外两个元素互为逆元。

可以看到三阶群中，除了幺元外，任意两个元素的运算结果都是幺元。

四阶群只有两个，分别是循环群和Klein四元群。

Klein四元群：

四阶循环群：可以看出，除了幺元外，任意两个元素的运算结果并不等于幺元，因此可以通过这条性质对Klein群和四阶循环群进行区分。

置换的定义：假设S是一个非空集合，从S到S本身的一个双射被称为S的一个置换。

置换与群的关系：群的运算表中的每一行和每一列都是对应集合中元素的一个置换。

解析：本题考查群的判定。对群的判定，实质上就是对运算的封闭性和可结合性、是否存在幺元和是否每个元素都存在逆元四个方面进行考虑。 对于第一问：容易证明封闭性和可结合性，同时容易找出幺元为0，每个元素的逆元是该元素的相反数，因此该代数系统是一个群。 对于第二问：容易证明封闭性和可结合性，同时可以确定代数系统的幺元为1，每个元素都存在一个逆元，为该元素的相反数，因此该代数系统是一个群。 对于第三问：容易证明封闭性和可结合性，同时可以确定该代数系统中的幺元是空集，每个元素存在的逆元是该元素本身。由此可以判断该代数系统是一个群。 对于第四问：容易证明封闭性和可结合性，存在的幺元是n阶单位矩阵，对于行列式不为零的矩阵，存在自身的逆矩阵作为自身的逆元，但是存在行列式为零的矩阵无逆元，因此该代数系统不是一个群，而是一个半群。

备注：集合的对称差运算满足结合律，这一点需要记住。

解析： 本题考查判定代数系统的最高代数结构。对此，只需要逐一递进地判断代数系统是否是广群、半群、独异点和群即可。 容易证明有理数乘法满足运算封闭性且运算可结合，并且存在幺元1。但是，并非其中每一个元素都存在逆元，因为元素0和任何数相乘都是零，因此该代数系统的最高代数结构是一个独异点，而不能构成一个群。 最后介绍一下交换半群：交换半群就是指运算满足可交换性的半群。在本题中，乘法运算显然满足可交换性，因此该代数系统也是一个交换半群。

解析：本题考查判定代数系统的最高代数结构。过程与上一题类似。 根据运算表可知，该运算满足封闭性和可结合性，并且存在幺元[0]。另外，每个不为[0]的元素[a]都有逆元为[4-a]，[0]的逆元为[0]，因此可以判断该代数系统是一个群。

解析：本题考查群的判定。只需要分步骤进行即可。 容易看出，该运算满足封闭性和可结合性，同时存在幺元0°，每个元素都存在逆元（对于0°，其逆元为自身，其他元素a°的逆元为(360-a)°）。由此可以判断该代数系统是一个群。

解析：本题考查几种常见的饰带群对称变换。 对于平移变换，字母序列SSS…进行多个单位距离的平移后，得到的序列和原始序列能够重合，因此该字母序列可以进行平移变换。 对于旋转变换：字母序列SSS…中以序列的中点为中心旋转180°后和原始序列重合，因此该字母系列可以进行旋转变换。 对于反射变换：该序列不管是经过水平反射还是垂直反射，所得到的新序列和原始序列都是左右相反的，因此不能进行反射变换。 对于滑动反射：无论是否进行滑动，该序列经过一次反射变换后都会出现左右互换的问题，因此不能进行滑动反射。 因此，本题中序列所具有的对称变换为平移变换和旋转变换。

解析：本题考查几种常见的饰带群对称变换。过程与上一题类似。 对于平移变换：将该字母序列平移两个单位后，得到的结果与原始字母序列重合，因此该字母序列可以进行平移变换。 对于旋转变换：将该字母序列中的每个元素旋转180°，仍然可以得到这个序列，因此旋转变换是可行的。 对于反射变换：无论是水平反射还是垂直反射，都可以得到原始序列，因此反射变换是可行的。 对于滑动反射：

解析：本题考查作已知二元运算的运算表并判断代数系统的代数结构。 运算表制作过程略，得到的运算表如下： 判断一个代数系统的代数结构实质上就是判断该代数系统所满足的性质。首先，根据运算表可知该代数系统满足运算封闭性，也容易证明集合的对称差运算满足可结合性。 根据运算表可以看出，该代数系统中存在幺元为空集，同时每一个元素都存在逆元，因此该代数系统是一个群。

解析：本题考查对三阶群的理解。 由于三阶群有且仅有一个，因此可以直接进行推断。从二元运算表可以看出，只有表头c所在的一行,a和b对应一列的运算结果是a和b，因此可以判断c是幺元，所以5=c，3=a； 由于位置1处按照该列来看只有b没有填，因此1=b；又因为3=a，因此2=c；同理可以判断4=a。 综上所述，1=b；2=c；3=a；4=a；5=c。

解析：本题考查二元运算表的制作和代数结构的判定。 二元运算表的制表过程略，所得到的二元运算表如下所示： 根据运算表可以判断该运算满足封闭性和可结合性，同时存在幺元1，每个元素都存在逆元，因此该代数系统是一个群。 除了幺元之外，其他每个元素的逆元并非其本身，因此该四阶群不是一个Klein群，而是一个四阶循环群。