扩展卡尔曼滤波EKF与多传感器融合 |
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Extended Kalman Filter(扩展卡尔曼滤波)是卡尔曼滤波的非线性版本。在状态转移方程确定的情况下,EKF已经成为了非线性系统状态估计的事实标准。本文将简要介绍EKF,并介绍其在无人驾驶多传感器融合上的应用。 本文假定读者已熟悉KF,若不熟悉请参考卡尔曼滤波简介。 KF与EKF的区别如下: 预测未来: x′=Fx+u 用 x′=f(x,u) 代替;其余 F 用Fj代替。修正当下:将状态映射到测量的 Hx′ 用 h(x′) 代替;其余 H 用Hj代替。其中,非线性函数 f(x,u),h(x′) 用非线性得到了更精准的状态预测值、映射后的测量值;线性变换 Fj,Hj 通过线性变换使得变换后的 x,z 仍满足高斯分布的假设。 Fj,Hj 计算方式如下: Fjb=∂f(x,u)∂x=∂h(x′)∂xKF的假设之一就是高斯分布的 x 预测后仍服从高斯分布,高斯分布的x变换到测量空间后仍服从高斯分布。可是,假如 F、H 是非线性变换,那么上述条件则不成立。 将非线性系统线性化既然非线性系统不行,那么很自然的解决思路就是将非线性系统线性化。 对于一维系统,采用泰勒一阶展开即可得到: f(x)≈f(μ)+∂f(μ)∂x(x−μ)对于多维系统,仍旧采用泰勒一阶展开即可得到: T(x)≈f(a)+(x−a)TDf(a)其中, Df(a) 是Jacobian矩阵。 多传感器融合 lidar与radar本文将以汽车跟踪为例,目标是知道汽车时刻的状态 x=(px,py,vx,vy) 。已知的传感器有lidar、radar。 lidar:笛卡尔坐标系。可检测到位置,没有速度信息。其测量值 z=(px,py) 。radar:极坐标系。可检测到距离,角度,速度信息,但是精度较低。其测量值 z=(ρ,ϕ,ρ˙) ,图示如下。步骤图如上所示,包括: 收到第一个测量值,对状态 x 进行初始化。 预测未来 修正当下 初始化初始化,指在收到第一个测量值后,对状态x进行初始化。初始化如下,同时加上对时间的更新。 对于radar来说, ⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢10000100⎤⎦⎥⎥⎥⎥[pxpy]对于radar来说, ⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢ρcosϕρsinϕρ˙cosϕρ˙sinϕ⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 预测未来预测主要涉及的公式是: x′P′=Fx=FPFT+Q需要求解的有三个变量: F、P、Q 。 F 表明了系统的状态如何改变,这里仅考虑线性系统,F易得: Fx=⎡⎣⎢⎢⎢⎢10000100dt0100dt01⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥P 表明了系统状态的不确定性程度,用x的协方差表示,这里自己指定为: P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢1000010000100000001000⎤⎦⎥⎥⎥⎥Q 表明了x′=Fx未能刻画的其他外界干扰。本例子使用线性模型,因此加速度变成了干扰项。 x′=Fx 中未衡量的额外项目 v 为: v=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢axdt22aydt22axdtaydt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢dt220dt00dt220dt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥[axay]=Gav 服从高斯分布N(0,Q)。 Q=E[vvT]=E[GaaTGT]=GE[aaT]GT=G[σ2ax00σ2ay]GT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢dt44σ2ax0dt32σ2ax00dt44σ2ay0dt32σ2aydt32σ2ax0dt2σ2ax00dt32σ2ay0dt2σ2ay⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 修正当下 lidarlidar使用了KF。修正当下这里牵涉到的公式主要是: ySKx′P′=z−Hx=HPHT+R=PHTS−1=x+Ky=(I−KH)P需要求解的有两个变量: H、R 。 H 表示了状态空间到测量空间的映射。 Hx=[10010000]⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥R 表示了测量值的不确定度,一般由传感器的厂家提供,这里lidar参考如下: Rlaser=[0.0225000.0225] radarradar使用了EKF。修正当下这里牵涉到的公式主要是: ySKx′P′=z−f(x)=HjPHTj+R=PHTjS−1=x+Ky=(I−KHj)P区别与上面lidar的主要有: 状态空间到测量空间的非线性映射 f(x) 非线性映射线性化后的Jacob矩阵radar的 Rradar状态空间到测量空间的非线性映射 f(x) 如下 f(x)=⎡⎣⎢⎢ρϕρ˙⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢p2x+p2y‾‾‾‾‾‾‾√arctanpypxpxvx+pyvyp2x+p2y‾‾‾‾‾‾‾√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥非线性映射线性化后的Jacob矩阵 Hj Hj=∂f(x)∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂ρ∂px∂ϕ∂px∂ρ˙∂px∂ρ∂py∂ϕ∂py∂ρ˙∂py∂ρ∂vx∂ϕ∂vx∂ρ˙∂vx∂ρ∂vy∂ϕ∂vy∂ρ˙∂vy⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥R 表示了测量值的不确定度,一般由传感器的厂家提供,这里radar参考如下: Rlaser=⎡⎣⎢⎢0.090000.00090000.09⎤⎦⎥⎥ 传感器融合实例多传感器融合的示例如下,需要注意的有: lidar和radar的预测部分是完全相同的lidar和radar的参数更新部分是不同的,不同的原因是不同传感器收到的测量值是不同的当收到lidar或radar的测量值,依次执行预测、更新步骤当同时收到lidar和radar的测量值,依次执行预测、更新1、更新2步骤多传感器融合的效果如下图所示,红点和蓝点分别表示radar和lidar的测量位置,绿点代表了EKF经过多传感器融合后获取到的测量位置,取得了较低的RMSE。 |
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