在用数学模型， 包括概率统计模型处理实际应用中的问题时， 我们希望建立的模型能够尽可能地符合实际情况。 但是，实际情况是错综复杂的， 如果一味地要求模型与实际完全相符， 会导致模型过于复杂， 以至于不能进行严格理论分析， 结果导致模型不能使用。 所以，实际建模时会忽略许多细节， 增加一些可能很难验证的理论假设， 使得模型比较简单，可以用数学理论进行分析研究。

这样，简化的模型就可以与实际情况有较大的差距， 即使我们对模型进行了完美的理论分析， 也不能保证分析结果是可信的。 这一困难可以用随机模拟的方法解决。

模拟是指把某一现实的或抽象的系统的某种特征或部分状态， 用另一系统（称为模拟模型）来代替或近似。 为了解决某问题， 把它变成一个概率模型的求解问题， 然后产生符合模型的大量随机数， 对产生的随机数进行分析从而求解问题， 这种方法叫做随机模拟方法， 又称为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法。

例如，一个交通路口需要找到一种最优的控制红绿灯信号的办法， 使得通过路口的汽车耽搁的平均时间最短， 而行人等候过路的时间不超过某一给定的心理极限值。 十字路口的信号共有四个方向， 每个方向又分直行、左转、右转。 因为汽车和行人的到来是随机的， 我们要用随机过程来描述四个方向的汽车到来和路口的行人到来过程。 理论建模分析很难解决这个最优化问题。 但是， 我们可以采集汽车和行人到来的频率， 用随机模拟方法模拟汽车和行人到来的过程， 并模拟各种控制方案，记录不同方案造成的等待时间， 通过统计比较找出最优的控制方案。

随机模拟中的随机性可能来自模型本身的随机变量， 比如上面描述的汽车和行人到来， 也可能是把非随机的问题转换为概率模型的特征量估计问题从而用随机模拟方法解决。

例10.1 (用随机模拟估计圆周率) 为了计算圆周率\(\pi\)的近似值可以使用随机模拟方法。

如果向正方形\(D = \{(x,y): x \in [-1,1], y \in [-1,1]\)内随机等可能投点， 落入单位圆\(C = \{(x,y): x^2 + y^2 \leq 1 \}\)的概率为面积之比 \(p = \frac{\pi}{4}\)。 如果独立重复地投了\(N\)个点， 落入\(C\)中的点的个数\(\xi\)的平均值为\(E \xi = p N\)， 由概率的频率解释， \[\begin{aligned} \frac{\xi}{N} \approx& \frac{\pi}{4}, \quad \pi \approx \hat \pi = \frac{4 \xi}{N} \end{aligned}\] 可以这样给出\(\pi\)的近似值。

R程序实现: