2. 语义：一个系有若干专业，每个专业每年只招一个班，每个班有若干学生。一个系的学生住在同一宿舍区。每个学生可参加若干学会，每个学会有若干学生。学生参加某学会有一个入会年份。

模式1：学生(U, F)

    U={学号，姓名，出生年月，系名，班号，宿舍区}

    F={学号->姓名，学号->出生年月，学号->系名，学号->班号，学号->宿舍区，系名->宿舍区}。

    传递函数依赖：学号--传递-->宿舍区

   候选码：学号；

    外码：系名。

模式2：班级(U, F)

    U={班号，专业名，系名，班人数，入校年份}

     F={(专业名, 入校年份)->班号，(专业名,入校年份)->班人数，班号->入校年份，专业名->系名, (班号,专业名)->系名, (班号,专业名)->班人数} ,

部分函数依赖：(班号,专业名)  --p->系名

     候选码：(专业名, 入校年份), (班号,专业名)

    外码：系名

模式3：系(U, F)

      U={系名，系号，系地点，系人数}

      F={系名->系号, 系名->系地点, 系名->系人数, 系号->系名, 系号->系地点, 系号->系人数，系地点->系名，系地点->系号，系地点->系人数 }

     候选码：系名，系号，系地点。

模式4：学会(U, F)

    U={学会名，成立年份，会地点，会人数}

    F={学会名->成立年份，学会名->会地点，学会名->会人数}

     候选码：学会名。

模式5：入会(U, F)

     U={学号，学会名，入会年份}

     F={(学号，学会名)->入会年份} ，(学号，学会名)->入会年份}

       候选码：(学号，学会名)

        外码：学号，学会名。

3. 试由Armostrong公理系统推到出下面三条推理规则。

    (1)合并规则：X → Y, X → Z ⇒ X → YZ

    (2)伪传递规则：X → Y , WY → Z ⇒ XW → Z

    (3)分解规则：X → Y及Z ⊆ Y ⇒  X → Z

证明: (1) 由X→Y⇒X→YX (A2),  X→Z⇒YX→YZ (A2 )⇒X→YZ (A3 )

  (2) 由X→Y⇒WX→WY (A2), WY→Z⇒YX→YZ  (A2) ⇒XW→Z (A3)

  (3) 由X→Y,   Z ⊆Y ⇒ Y→Z  (A1)    ⇒  X→Z  (A3 )

6.有关系模式R(A,B,C,D,E), 回答下面各个问题：

(1)若A是R的候选码，具有函数依赖BC→DE,那么在什么条件下R是BCNF?

答：当BC→A或BC是候选码时，R∈BCNF.

(2) 如果存在函数依赖A→B，BC→D, DE→A，列出R的所有码。

  R的候选码为：CEA, CEB, CED

  因CE不在F中右边出现，所以候选码必包含CE。

而(CE)+=CE≠U, 所以CE非码。

因 (CEA)+=CEABD=U, 且(C)+=C，(E)+=E, (A)+=AB, (CA)+=CABD, (EA)+=EAB，

所以CEA是码；

因 (CEB)+=CEBDA=U, 且(C)+=C，(E)+=E, (B)+=B, (CB)+=CBD, (EB)+=EB，

 所以CEB是码；

因 (CED)+=CEDAB=U, 且(C)+=C，(E)+=E, (D)+=D, (CD)+=CD, (ED)+=EDAB，

 所以CED是码；

总结：不在F中右边出现的属性必包含在所有候选码中；在F中两边均出现的属性一定包含在某个候选码中。

(3) 如果存在函数依赖A®B，BC®D, DE®A，R属于3NF还是BCNF。

答：由（2）知R无非主属性，且函数依赖的左边不含码，所以R属于3NF。

7.下面的结论哪些是正确的？哪些是错误的？对于错误的请给出一个反例说明之。

(1)任何一个二目关系是属于3NF的。             √

(2) 任何一个二目关系是属于BCNF的。          √

(3) 任何一个二目关系是属于4NF的。           √

(4)当且仅当函数依赖A®B在R上成立，关系R(A,B,C)等于其投影R1(A,B)和R2(A,C)的连接。                          ×

结论：A→B ⇒ R=R1⋈ R2  √

  证明： 令U1={A,B},U2={A,C},则A=U1⋂U2, B=U1-U2,

所以U1⋂U2®U1-U2，由定理6.5（P197）Þ R=R1⋈ R2

结论：R=R1⋈ R2 ⇒A®B  ×

   反例：依据定理6.5 设计关系R中A ↛B, A→C,

R:

A

B

C

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a2

b2

c2

a3

b3

c3

R1:

A

B

a1

b1

a1

b2

a2

b2

a3

b3

R2:

A

C

a1

c1

a2

c2

a3

c3

显然 R=R1⋈ R2，然而A ↛B。

(5) 若R.A→R.B，R.B→R.C，则R.A→R.C。     √

(6) 若R.A→R.B，R.A→R.C，则R.A→R.(B,C)。√

(7) 若R.B→R.A，R.C→R.A，则R.(B,C)→R.A。  √

(8) 若R.(B,C)→R.A，则R.B→R.A，R.C→R.A。  ×

8.证明：

（1）如果R是BCNF关系模式，则R是3NF关系模式，反之则不然。

（因为R属于BCNF, 由定义排除了任何属性对码的传递依赖和部分依赖。）

证明：

关系模式R为BCNF，则R一定为3NF，也一定为2NF；反之则不然。

证明思路：假设R为BCNF，而R不为3NF，则按3NF定义，一定存在R的码x，非主属性y,属性z,有x→z, z→y ，非z→x, y不包含在z中。

对于函数依赖z→y，因为y不包含在z中，而R为BCNF，按BCNF定义，则z一定包含R的码，这样一定有z→x，矛盾。

所以，假设R为BCNF，而R一定为3NF。

对于设R为BCNF，而R一定为2NF的证明，与上述证明类似。（要用到2NF定义中的部分依赖, ）

如R不为2NF，则一定存在R的码x，非主属性y,  x的真子集z, 有z→y。

对于z→y 一定有y不包含在z中，因为y为非主属性，而z包含在码x中。

根据R为BCNF, z一定包含为R的码，这样一定有z→x，与x为码，z真包含在x中矛盾。

反之：举例s(sno,sn,sage,dno,dn)为2NF，而非BCNF；STJ（s,t,j）s:学生，t:教师，j:教室，{t→j, (s, j)→t }，码为(s, t), (s, j), 全为主属性，是3NF, 但不是BCNF。

（2） 如果R是3NF关系模式，则R一定是2NF关系模式。

证明: 假设R中非主属性A部分依赖于关键字K则存在K'是K的真子集, 使得

K'→A。因K'是K的真子集，故K→K', 但K'↛K。 于是有K→K', K'↛K, K'→A并A不属于K, 从而A传递依赖于K, 即R不属于3NF, 与已知矛盾。