关系数据库及关系代数的基本概念 |
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关系数据库
此篇回答的是《数据库原理概论》中第二章的习题 1.定义并理解下列术语,说明他们之间的联系和区别: (1) 域,笛卡儿积,关系,元组,属性;域(domain):域是一组具有相同数据类型的值的集合。 笛卡尔积(cartesian pproduct):笛卡尔积是域上的一种集合运算。 以下三个定义可以可以参见我上次的文章中的第3问。传送门 关系(relation): 元组(tuple): 属性(attribute): —————————————————————————————————————————— 关于笛卡尔积我们来详细讲讲。首先给出定义: 给定一组域D1,D2,···,Dn,允许其中某些域是相同的,D1,D2,···,Dn的笛卡尔积为 D1×D2×···×Dn={(d1,d2,···,dn)| di∈Di,i=1,2,···,n} 其中,每一个元素(d1,d2,···,dn)叫做一个n元组(n-tuple),或简称元组(tuple)。元素中的每一个值di叫做一个分量(component)。 一个域允许的不同取值个数称为这个域的基数(cardinal number)。 若Di(i=1,2,···,n)为有限集,其基数为mi(i=1,2,···,n),则D1×D2×···×Dn的基数M为 M = ∏ m = 0 n m i M=\prod_{m=0}^{n}m_{i} M=m=0∏nmi 那么这段话是什么意思呢?其实很简单。 我们之前说过,"域"是一种集合,而笛卡尔积也是集合里面的一种概念,同样能够用集合的思想去理解。 所以假设我们有A集合与B集合,其中A={ a , b },B={ 1, 2, 3 } 。 根据定义,我们有A×B={ (a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3) }。 笛卡尔积就是所有域的所有组合的一个集合(记得要去除相同的域的组合) 说白了就是将两个集合(域)里面的元素相乘。 然后我们就知道,像(a,1),(b,2)这样的叫做元组,因为里面有两个元素(分量),所以我们叫它二元组。A集合的基数为2,B集合的基数为3,A×B的基数则为2×3=6.若是有相同的分量的话则基数应该相应地减去重复分量的值。 —————— 刚刚讲的是在集合中的笛卡尔积,那么我们回到关系数据库上。 在关系数据库中,笛卡尔积可以表示一张二维表,表中的每行都是一个元组,表中的每一列的值都是来自一个域,同我在上篇文章中的表述相同。 简单举个例子。给出两个域: D1=老师集合TEACHER={李老师,王老师} D2=科目集合SUBJECT={数学,语文} D3=学生集合PUPIL={李红,张勇} 一对一培训 那我们有笛卡尔积: D1×D2×D3={ (李老师,数学,李红),(李老师,数学,张勇), (李老师,语文,李红),(李老师,语文,张勇), (张老师,数学,李红),(张老师,数学,张勇), (张老师,语文,李红),(张老师,语文,张勇)} 其中,(李老师,数学,李红)这样的就是元组,,张老师,李老师,数学这样的是分量。同时,该笛卡尔积的基数为2×2×2=8 可以绘制成表格 TEACHERSUBJECTPUPIL李老师数学李红李老师数学张勇李老师语文李红李老师语文张勇张老师数学李红张老师数学张勇张老师语文李红张老师语文张勇对于关系(relation)我在这里再补充下在关系数据库中的定义。 D1×D2×···×Dn 的子集叫做在域D1,D2,···,Dn 上的关系,表示为R(D1,D2,···,Dn) 这里R表示关系的名字,n是关系的目或者度(degree)。 如上表中R为TSP(TEACHER,SUBJECT,PUPIL),n=3; —————————————————————————————————————————— (2) 主码,候选码,外码;候选码(candidate key):若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组,而其子集不能,则称该属性组为候选码(candidate key)。 主码(primary key):若一个关系有多个候选码,则选定其中一个为主码(primary key)。 外码(foreign key):设F是基本关系R的一个或一组属性,但不是关系R的码,Ks是基本关系S的主码。如果F与Ks相对应,则称F是R的外码(foreign key),并称基本关系R为参照关系(referencing relation),基本关系S为被参照关系(referenced relation) 或目标关系(target relation)。关系R和S不一定是不同的关系。 此处候选码的意思就是该列的值都都能确定一个元组。我之前的那个表格不适合确定候选码,我们可以回想学生信息表里面的学号,是每个学生都独一无二的。假若学校里的人都不重名,那么学生信息表内的候选码就有俩——学号和姓名。然后你可以随便选定一个候选码作为主码。若所有属性都是候选码,那么则称为全码(all-key)。 至于外码,简单上个图: (图片来自Jaihk662的博客) 关系模式(relation schema):关系的描述称为关系模式。它可以形式化地表示为R(U,D,DOM,F) 其中R为关系名,U为组成该关系的属性名集合,D为U中属性所来自的域,DOM为属性向域的映像集合,F为属性间数据的依赖关系集合。 一般可以简记为R(U)或R(A1,A2,···,An) 其中R为关系名,A1,A2,···,An为属性名。 关系(relation):参照前文中的补充定义。 关系数据库:在一个给定的应用领域中,所有关系的集合构成一个关系数据库。关系数据库的型也称为关系数据库模式,是对关系数据库的描述。关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合,通常就称为关系数据库。 关系模型和关系在我上次的文章(传送门在文章开头)和上文中有了较为详细的解释,此处不再赘述。那么对于新概念——关系数据库我们是怎么解释呢?又拿学生信息表来说,因为目前只需要这么一张表,所以这么一张表所构成的一个集合就是关系数据库。 ![]() ————————————————————————— 2、试述关系模型的完整性规则。在参照完整性中,什么情况下外码属性的值可以为空值?关系模型中有三类完整性约束:实体完整性(entity integrity)、参照完整性(referential integrity)和用户定义的完整性(user-defined integrity)。实体完整性简单来说就是主码不能为空且必须唯一;参照完整性指的是外码要么为空,要么源自被参照关系的主码,当该外码在第一段关系中不是主属性的时候可以取空值;用户定义完整性指的是针对某一具体关系数据库的约束条件,反映某一具体应用所涉及的数据必须满足语义要求(也就是根据问题的实际情况,对数据有不同的要求。例如0.5个人这种说法,它可能在数学上是存在的,但它不符合语义,违背了用户定义完整性。 ————————————————————————— 关系代数 3、题目太长我直接截图了
Π S N O ( σ J N O = ′ J 1 ′ ( S P J ) ) \Pi_{SNO}(\sigma_{JNO='J1'}(SPJ)) ΠSNO(σJNO=′J1′(SPJ)) 思路:J1在J表和SPJ表中出现,SNO出现在SPJ表中,仔细看J表和题目 没有关系,所以主要在J表中寻找。读题目可以知道这是一种投影(查某属性的统一元组中的另一个属性的值),所以外层用投影,内层用选择。 (2)求供应工程J1零件P1的供应商号码SNO;Π S N O ( σ J N O = ′ j 1 ′ ∧ P N O = ′ P 1 ′ ( S P J ) ) \Pi_{SNO}(\sigma_{JNO='j1'\wedge PNO='P1'}(SPJ)) ΠSNO(σJNO=′j1′∧PNO=′P1′(SPJ)) 思路:和上一题基本一样,只是多加了一个属性。 (3)求供应工程J1零件为红色的供应商号码SNO;Π S N O ( Π S N O , P N O ( σ J N O = ′ J 1 ′ ( S P J ) ) ⋈ Π P N O ( σ C O L O R = ′ 红 ′ ( P ) ) ) \Pi_{SNO}(\Pi_{SNO,PNO}(\sigma_{JNO='J1'}(SPJ))\Join\Pi_{PNO}(\sigma_{COLOR='红'}(P))) ΠSNO(ΠSNO,PNO(σJNO=′J1′(SPJ))⋈ΠPNO(σCOLOR=′红′(P))) 思路:这个稍微复杂一点。我们可以看到主要涉及的表有P表和SPJ表,针对颜色,我们可以先把P表中红色的零件的PNO都选出来,就是连接符号的后面一段。然后再把JNO='J1’的从SPJ表中投影出来他们的SNO和PNO,接着和我们得到的红色零件的PNO连接,就可以得到问题的答案。 (4)求没有使用天津供应商生产的红色零件的工程号JNO;Π J N O ( S P J ) − Π J N O ( σ C I T Y = ′ 天 津 ′ ∧ C O L O R = ′ 红 ′ ( S ⋈ S P J ⋈ P ) \Pi_{JNO}(SPJ)-\Pi_{JNO}(\sigma_{CITY='天津' \wedge COLOR='红'} (S\Join SPJ\Join P) ΠJNO(SPJ)−ΠJNO(σCITY=′天津′∧COLOR=′红′(S⋈SPJ⋈P) 思路:先选出SPJ表内使用了天津供应商和红色零件的JNO,做到这一点需要连接S表和P表。再拿整个SPJ表中的JNO减去这些就是问题所求。 (5)求至少用了供应商S1所供应的全部零件的工程号JNO;Π J N O , P N O ( S P J ) ÷ Π P N O ( σ S N O = ′ S 1 ′ ( S P J ) ) \Pi_{JNO,PNO}(SPJ)\div \Pi_{PNO}(\sigma_{SNO='S1'}(SPJ)) ΠJNO,PNO(SPJ)÷ΠPNO(σSNO=′S1′(SPJ)) 思路:可以先自己想想🐶 先求出SPJ表中S1所供应的所有零件的PNO,这是后半部分。再求出SPJ表中的JNO与PNO,二者相除就是至少用了S1全部零件的结果。![]() 关系代数有并、差、笛卡尔积、投影和选择种基本运算,其他3种运算,交、连接和除是这5种基本运算来表达的。 ∩ : R ∩ S = R − ( R − S ) 或 S − ( S − R ) \cap:R ∩ S= R - ( R - S) 或 S - (S - R) ∩:R∩S=R−(R−S)或S−(S−R) ⋈ : R ⋈ A θ B = σ A θ B ( R × S ) \bowtie:R\underset{AθB}\Join=\sigma_{AθB}(R\times S) ⋈:RAθB⋈=σAθB(R×S) ÷ : R ÷ S = Π A ( R ) − Π ( Π A ( R ) × Π C ( S ) − R ) \div:R\div S=\Pi_{A}(R)-\Pi(\Pi_{A}(R)\times \Pi_{C}(S)-R) ÷:R÷S=ΠA(R)−Π(ΠA(R)×ΠC(S)−R) ![]() 参考文献: [1]萨师煊,王珊,数据库系统概论.5版.北京:高等教育出版社,2014. [2]Jaihk662的博客 [3]Henry_626的博客 |
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