写在前面： 博主本人大学期间参加数学建模竞赛十多余次，获奖等级均在二等奖以上。为了让更多学生在数学建模这条路上少走弯路，故将数学建模常用数学模型算法汇聚于此专栏，希望能够对要参加数学建模比赛的同学们有所帮助。

  关于数据包络分析法的CCR模型已经在上文中进行了介绍，CCR模型是规模收益不变(CRS)假设下的径向EDA模型，即模型中的 λ \lambda λ满足 λ ⩾ 0 \lambda \geqslant 0 λ⩾0，具体的模型原理可参阅链接: 数据包络分析——CCR模型。   但是在实际生产过程中，生产技术的规模收益并非CRS，若采用CRS假设，得出的技术效率并非完全是纯技术效率，而是包含了规模效率成分的综合效率。 一般来说，生产技术的规模收益要先后经历规模收益递增（IRS）、规模收益不变（CRS）、规模收益递减（DRS）三个阶段。如果无法确定研究样本处于哪个阶段，那么评价技术效率是应该选择可变规模收益（VRS）模型，即模型中的 λ \lambda λ满足 ∑ λ = 1 \sum \lambda=1 ∑λ=1。此时VRS模型得出的技术效率就是纯技术效率。

  BCC模型即规模收益可变(VRS)假设下的径向DEA模型。它与CCR模型的区别就是增加了等式约束 ∑ λ = 1 \sum \lambda=1 ∑λ=1。   投入导向的BCC对偶模型： min ⁡ θ \min \theta minθ s . t . { ∑ i = 1 n λ i x i j ⩽ θ x i j ∑ i = 1 n λ i y i r ⩾ y k r ∑ i = 1 n λ i = 1 λ i ⩾ 0 , j = 1 , ⋯   , m ; r = 1 , ⋯   , 3 q s.t.\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant \theta x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \geqslant y_{k r} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{array}\right. s.t.⎩ ⎨ ⎧​∑i=1n​λi​xij​⩽θxij​∑i=1n​λi​yir​⩾ykr​∑i=1n​λi​=1λi​⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,3q​ 其中， k = 1 , ⋯   , n k=1, \cdots, n k=1,⋯,n。   产出导向的BCC对偶模型： max ⁡ ϕ \max \phi maxϕ s . t . { ∑ i = 1 n λ i x i j ⩽ x i j ∑ i = 1 n λ i y i r ⩾ ϕ y k r ∑ i = 1 n λ i = 1 λ i ⩾ 0 , j = 1 , ⋯   , m ; r = 1 , ⋯   , 3 q s.t.\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \geqslant \phi y_{k r} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{array}\right. s.t.⎩ ⎨ ⎧​∑i=1n​λi​xij​⩽xij​∑i=1n​λi​yir​⩾ϕykr​∑i=1n​λi​=1λi​⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,3q​ 其中， k = 1 , ⋯   , n k=1, \cdots, n k=1,⋯,n。

还是以下面这个问题为例：   某市教委需要对六所重点中学进行评价，其相应的指标如表所示。表中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标，生均写作得分和生均科技得分是输出指标。请根据这些指标，评价哪些学校是相对有效的。 根据上述建立的模型，编写投入导向的BCC模型的MATLAB程序如下:

  得到的结果为：1，0.9804，1，0.9395，1，1 产出导向的BCC模型的MATLAB程序如下:

  得到的结果为：1，0.9948，1，0.9466，1，1

  观察投入导向的BCC模型和产出导向的BCC模型结果可以发现，学校A、C、E、F这几个学校的投入产出是比较有效的。