(1) 证明见解析；

(2) ．

【分析】（ 1 ）分别取 的中点 ，连接 ，由平面知识可知 ， ，依题从而可证 平面 ， 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，即可知四边形 为平行四边形，于是 ，最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（ 2 ）再分别取 中点 ，由（ 1 ）知，该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍，即可解出．

【详解】（ 1 ）如图所示：

分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ， ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．

（ 2 ） [ 方法一 ] ：分割法一

如图所示：

分别取 中点 ，由（ 1 ）知， 且 ，同理有， ， ， ，由平面知识可知， ， ， ，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍．

因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ， ，所以该几何体的体积

．

[ 方法二 ] ：分割法二

如图所示：

连接 AC,BD, 交于 O ，连接 OE,OF,OG,OH. 则该几何体的体积等于四棱锥 O-EFGH 的体积加上三棱锥 A-OEH 的 倍 , 再加上三棱锥 E-OAB 的四倍．容易求得， OE=OF=OG=OH=8, 取 EH 的中点 P ，连接 AP,OP. 则 EH 垂直平面 APO. 由图可知，三角形 APO, 四棱锥 O-EFGH 与三棱锥 E-OAB 的高均为 EM 的长 . 所以该几何体的体积