威震民科吧的三江第一定理，好吧我开玩笑的……

————————————————正经的分割线————————————————

欧几里得几何原本的第五公设：若两直线和第三条直线相交，且在同一侧所构成的两个同旁内角之和小于两个直角。这两条直线像该侧延伸一定相交。

然而在几何原本中，只有一个命题的证明需要直接用到这条公设（命题29：两直线平行同位角相等，同旁内角互补）因此当时认为应该可以在不涉及平行角相关定理的情况下应该是可以证明第五公设的（想看更详细的戳这里：第五公设）

其中最具迷惑性且最经典的证明是法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德的证明：首先先证明三个预备定理（下文的d均表示直角）

第一预备定理、：三角形内角和不能大于两个直角

假设△ABC内角和为2d+φ（φ＞0）

如图，作BC中点D，延长AD至B1，使AD=DB1，易得△ABD≌△B1DC。

得∠DB1C=∠DAB，∠DCB1=∠DBA。从而，△AB1C应与△ABC内角和相等，也为2d+φ。但是由于△AB1C的最小内角显然不大于∠CAB1与∠AB1C中的较小者，因此也不大于∠DAB与∠CAD之中的较小者。因此显然，△AB1C中的最小内角不超过 \frac{\alpha}{2} 。

当以上过程重复n-1次时，所得的第n个三角形内角和依然为2d+ φ，但最小内角却不大于 \frac{\alpha}{2^{n-1}} ,这时候，三角形另外两个内角的和应该不小于 （2d+\psi）-\frac{\alpha}{2^{n-1}}=2d+（\psi-\frac{\alpha}{2^{n-1}}） ，当n达到一个足够大的数值时，将大于2d，这是不可能的。从而与题设矛盾。从而第一预备定理得证。

第二预备定理：若如存在一个三角形内角和为2d则所有三角形内角和均为2d

首先，这个定理可以转化成另一个等价命题：任意一个直角三角形的内角和为2d，因为任意一个三角形都能从最大的内角上向对边作高，从而分割成两个直角三角形，而他们的直角又重合成一条边。

现在假定△ABC的内角和为2d，由第一预备定理得∠1+∠2+d≤2d，∠3+∠4+d≤2d。

从而从而∠1+∠2+∠3+∠4≤2d。依据我们的假定，所以必须有∠1+∠2=d，∠3+∠4=d。

这就是说，在我们的假定下，至少存在一个RT△的内角和为2d。取△BDC为这样的三角形，将p边与q边延长m倍与n倍（ m，n\in N ），再联结EG

因为m与n为自然数，所以四边形能被分割成正整数个全等于△BDN的三角形，而每个分割成的小三角形的内角和均为2d，所以大四边形的内角和为4d，于是△EDC的内角和为大四边形的一半，于是△BDG的内角和也为2d

现在转到更一般的情况，另△DMN是一个直角三角形（注意：点M和点B不一定重合，答主偷懒用一个图）由于m和n可以达到足够大，超过DM和DG，因此不妨设DE≥DM，DG≥DN

联结EN， 由△EDG内角和为2d\Rightarrow△EDN和△ENG内角和为2d\Rightarrow△EMN和△MDN内角和为2d ，即任意一个RT△ 内角和均为2d，第二预备定理得证

第三预备定理：如果有一个三角形内角和小于2d，则所有的三角形内角和都小于2d

证明：这个是很明显的，一个三角形的内角和肯定是一个数值，所以他要么大于2d，要么等于2d，要么小于2d。根据第一预备定理，三角形的内角和不大于2d。因此任意一个三角形的内角和只能≤2d。

根据第二预备定理，只要存在一个三角形内角和等于2d，则所有三角形的的内角和也等于2d。由第二预备定理的逆否命题可得，若存在一个三角形的内角和小于2d，则所有三角形的内角和都小于2d。证毕

证明完三个预备定理后，勒让德教授又做出以下推理：

如果有一个△ABC的内角和为2d-φ（φ＞0），则我们作△ABC关于轴BC对称的图形A1BC（图中的两个粉色三角形）过点A1作直线交射线AB于点B1，交射线AC于点C1。

记△BB1A和△CA1C1的内角和为2d-ε和2d-ζ（ε和ζ均为正数）

因为大△AB1C1的内角和加上3个平角（∠ACC1和∠ABB1还有∠B1A1C1）应为四个小△相加之和。可以列出关系式

（2d-\varphi）\times2+（2d-\varepsilon）+（2d-\zeta）-2d\times3=2d-2\varphi-（\varepsilon+\zeta）＜2d-2\varphi

以此类推，可得存在一个内角和小于2d-2φ的三角形→存在一个内角和小于2d-4φ的三角形→存在一个内角和小于2d-6φ的三角形……最后，内角和小于 2d-2^{n}\varphi 的三角形存在。而当n足够大时，三角形内角和为负数，显然错误。

因此三角形的内角和只能为2d

证明了这个结论，用同一法很容易推出第五公设：

∠ABC＞0，△ABC的内角和为2d，因而∠BAC+∠BCA=2d-∠ABC＜2d。经过检验每一步均为可逆，证毕。第五公设得证。

然而这个证明究竟对不对，若不对又错在哪？（答主：对的话我就不往这发了。）不许偷偷看答案。

——————————————答案分割线，请按5————————————————

哈哈哈，你是不是来偷看了

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就是这步出现了循环论证。作△ABC关于轴BC对称的图形A1BC（图中的两个粉色三角形）过点A1作直线交射线AB于点B1，交射线AC于点C1。在这步中，隐蔽的使用了等价于第五公设的说法：过角内一点作直线，只要直线不平行于角的任意一边。直线就能与角的两边相交。

这个失误恰恰是勒让德教授指出的。而第五公设是欧式几何独有的公设，黎曼几何和罗式几何就不存在这个问题。也就是满足这个公设的是欧式几何，因而不能用欧式几何进行证明。

以上内容均非原创，摘抄自《图形与逻辑的故事》，我是资源的搬运工（码字好累）