《数学物理方程》期末复习(华工) |
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华南理工大学《数学物理方程》个人期末复习,感谢程老师的悉心教导。 本人复习根据作业习题摘抄关键知识点,不根据书本具体内容。发表至网上的目的是个人回顾,顺便还能共享一下,或许有一些帮助。若有错误,请谅解并指出(本人很少上号,可能不能及时看到并回复)。 一、方程的导出和定解问题的提法 偏微分方程的分类阶:最高阶偏微商的阶数叫做该偏微分方程的阶 齐次:不 含u及其偏微商的项称为自由项;当自由项为零时,称方程为齐次方程;否则称 为非齐次方程。 线性:如果方程关于未知函数及其所有偏微商是线性的;否 则称为非线性的。 【题目】 是二阶线性非齐次方程 是二阶线性齐次方程 用高数常微分方法求微分方程通解【题目】 先对y积分再对x积分 分部积分法 注意:含有常数如常数时,需要对常数进行讨论(如是否等于0) 定解问题与适定性定解问题:我们把方程的解必须要满足的事先给定的条 件叫做定解条件,一个方程配上定解条件就构成一个定解问题。 适定性:对事先选定的函数空间,如果定解问题的解在该空间存在、唯一且稳定,则 称该定解问题是适定的。 解的稳定:设线性赋范空间H, 范数为. u1, u2分别 是定解数据为ψ1, ψ2的同一个定解问题的解。则解的稳定性可以表达为: ∀ε > 0, 存在δ > 0, 使得只要, 就有。 【题目】证明不适定即证明解不稳定(系数取不同的解都满足定解问题但是距离很大) 二、二阶方程的特征理论与分类 二次型的标准型 二次型的标准型: 二次型的种类: 【题目】把非齐次方程化为标准型 (1解特征方程得特征曲线,注意交叉项正负 2 取变换回带,注意dy/dx系数与原方程关系,注意椭圆要多一个雅克比行列式不为0的变换项) 【题目】求特征线 三、分离变量法 分离变量法分离变量 设有分离解 求解特征值问题 特征值分类讨论(指数解、线性解、三角函数) 特别注意涉及三角函数时,根据不同的k很多解 求解另一个问题 得出通解 代入初始条件 叠加所有可能解 不同坐标系下的分离变量法转换坐标系,第一条方程转换成如下 分别解两个方程,注意此坐标系下有两个特殊条件 3.解出答案 带回原坐标xy 四、行波法 行波法(仅有二阶)方法理论(不严谨概括):利用特征方程求得变换后【即第二章习题的过程】,将方程分为两个反方向行波方程之和,即 ,代入初值条件后求解,再反变换即可 达朗贝尔公式:通过行波法,对这一类无界弦的自由振动问题可以直接套公式解决 该类问题形式。该类问题长这样: 它的解(达朗贝尔公式)长这样: 由特征方程划得的三种区域如下图所示。(含义不太理解) 【题目】求影响区域和决定区域 【题目】解双曲型方程 特征线法(一阶)特征线法:方程为 利用以下方程求出特征线(注意a移到等式右边且不变号) 可求得方程为 【题目】求解一阶方程 3.齐次化原理(解非齐次波动方程)针对无界弦强迫振动的定解问题 把该问题拆分为下述公式两个公式的叠加 后面公式的解由齐次化原理可求得 故最终解为 【题目】求解非齐次波动方程 回答问题格式即把套的公式拆成两个方程对应的写,得步骤分更稳一点 4.三维波动方程三维波动方程 用泊松方程解该问题得(注意分母是a平方) 其中 【题目】求解三维波动方程 5.二维波动方程二维波动方程如下 由三维波动方程降阶得到二维波动方程的解。二维方程的解为 【题目】求解二维波动方程 五、积分变化法 1.傅里叶变换法对某一变量进行傅里叶变换,计算后反变换。例如对有界的热传导方程 傅里叶变换公式 拉普拉斯变换公式(令s=i即可用于傅里叶变换) 傅里叶变换后可得 接着代入初值条件再反变换可得答案。但更多时候用的是进一步运算的公式,用该公式可以绕开积分反变换 【题目】求热传导初值问题 其实上述方法不常用,直接套公式更常用 注意:需要用到高斯积分 2.拉普拉斯变换法(x定义域[0,∞))对某一变量进行傅里叶变换,计算后反变换。与傅里叶变换类似,但x的定义域、f(x)的要求不同 在选取变换对象的时候,需要注意、 由于拉普拉斯变换求导时需要函数初值条件,若变量缺乏该初值条件则不能选该变量拉 【题目】用拉普拉斯变换法求解问题 六、格林函数法 求解二维无界泊松方程考虑泊松方程 相应的格林函数满足的方程为 解出公式为 上面为二维,三维如下 一些边值条件等效格林 【题目】求解二维无界泊松方程(积分公式写漏了一项,完整的见上方) 2.镜像法求格林函数【题目】用镜像法解上半平面第一类泊松方程 (更正:倒数第二行最开头一项漏写了个负号) 【题目】用镜像法解圆域内第一类泊松方程 后记网上有08年试卷答案:华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1].6 - 道客巴巴 (doc88.com) 其实这一科目老老实实刷多几遍作业题就好了,老师也不会为难学生,所以本文章个人认为基本没啥意义,亲身实践发现题做少了考场还是会忘。认真做作业题吧!留意什么题型用什么方法,考试有些题目不会写用什么方法。 |
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