\bar X=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\\

\bar X=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N n_iX_i\\

随机变量的数学期望即随机变量的加权平均值，如果随机变量 X_i 发生的概率为 P_i ，则其数学期望为

E(X)=\sum_{i}X_iP_i\\

以上是离散型随机变量的数学期望，但对于连续事件而言，某一点的概率是没有意义的，故考虑某两点之间的分布，即通过概率密度函数表达某点的概率。

设 f(X) 为连续型随机事件的密度函数，那么在 X 点的概率为 P(X)=f(X)dX ，则对应的数学期望为

E(X)=\int_{-\infty}^\infty XP(X)=\int_{-\infty}^\infty Xf(X)dX\\

若 X 为离散型随机变量， p(X) 为该随机变量对应的发生概率，那么 Y=g(X) 的数学期望为

E(Y)=E[g(X)]=\sum_{i}g(X)p(X)\\

若 X 为连续型随机变量， f(X) 为该随机变量 X 对应的概率密度， p(Y) 为 Y 的概率密度，则

E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty Yp(Y)dY=\int_{-\infty}^\infty g(X)f(X)dX\\

显然 p(Y)=\frac{f(X)}{g'(X)} .

可以把 g(X) 看作 X 的一种映射，只不过是随机变量 X 的一种包装。

设 f(X) 为连续型随机事件的密度函数，那么在 X 点的概率为 P(X)=f(X)dX ，则对应的均值为

\bar X=\frac{E(X)}{f(X)}=\frac1{f(X)}\int_{-\infty}^\infty Xf(X)dX\\

我们知道定积分代表的是面积 I ，根据样本均值的几何性质，利用矩估计，容易得到

I=\int_{-\infty}^\infty XdX\approx \bar X=\frac{E(X)}{f(X)}=\frac1{f(X)}\int_{-\infty}^\infty Xf(X)dX\\

将 X 映射到 g(X) ，若 f(X) 为 g(X) 的概率密度函数，即有

\int_{-\infty}^\infty g(X)dX\approx \frac1{f(X)}\int_{-\infty}^\infty g(X)f(X)dX\\

若 \small X\mapsto g(X) 为离散型随机变量， \small f(X),p(X) 分别为 \small g(X) 的概率密度和概率函数，随机事件发生 \small N 次，则

\bar g(X)=\frac{E[g(X)]}{f(X)}=\frac1N\sum_{i=0}^Ng(X_i)p(X_i)\\

对于连续型随机变量 X\mapsto g(X) ，其数学期望为

E[g(X)]=\int_0^Ng(X)f(X)dX\\

若样本数 N 足够多，我们可以近似认为：离散 \rightarrow 连续

E[g(X)]=\int_0^Ng(X)f(X)dX\approx f(X)\bar g(X)\approx \frac{f(X)}N\sum_{i=0}^Ng(X_i)p(X_i)\\

也就得到了通过期望去近似定积分的方法

\color{red}{\int_0^Ng(x)f(x)dx\approx f(x)\int_0^Ng(x)dx\approx \frac{f(x)}N\sum_{i=0}^Ng(x_i)p(x_i)}\\