请确保你已基本熟练圆锥曲线的知识，上期有对曲线系方程的初步讲解，本期难度骤升，没有基础的建议去看一下。

        经过上期对曲线系方程的解说，我们知道了直线系和圆系的几种应用和一些小结论。那么这篇文章就来接着讲曲线系方程中的其他线系：椭圆（双曲线）系、抛物线系。

        在高考中可以使用曲线系方程解题，但是需要解释清楚，曲线系方程法能减少大量计算，用一次赚一次。下面我将介绍三种曲线系方程最常用的方法。

一、抛物线系

1、并集曲线

        一个方程可以表示一个曲线，两个方程表示了两条曲线，那么你有没有想过用一个方程同时表示两条曲线？也就是两条曲线的并集？

        当然可以这么做。假设有曲线C₁(x,y)＝0，C₂(x,y)＝0（等号右边必须为0），那么C₁，C₂的并集曲线就是C：C₁(x,y)·C₂(x,y)＝0。证明也很简单，你把它看作两个因式相乘，那么得到的结果应该是一个因式为零，或另一个因式为零，的确满足并集的定义。

        举个例子，已知直线m：x＋3y-2＝0，n：2x-y＋5＝0，那么这两条直线的并集就是l：(x＋3y-2)(2x-y＋5)＝0。

        同样的，圆，抛物线，椭圆和双曲线，所有的曲线都可以用这种方式表示并集。如果需要把更多曲线取并集，只有把它们的方程乘起来即可。但，需要注意的是并集曲线的定义域是每个曲线的交集。

2、实战

例1：

已知抛物线y²＝2px，(p＞0)与直线2x－5y＋16＝0和直线2x＋5y＋24＝0分别交于A、B、C、D，且四边形ABCD的对角线互相垂直，求抛物线的方程。

        怎么算？大多数人可能第一个想到的是直接设这四个点的坐标为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)，(x₄,y₄)，然后联立抛物线和已知直线，得到x₁x₂，x₁＋x₂，x₃x₄，x₃＋x₄关于p的韦达定理式，再加上题目给的垂直，可以再得到一个关于x₁，x₂，x₃，x₄的方程，然后去解关于它们和p的五元二次方程。

        这个方法可行，但是方程很难解，尤其是利用垂直得到的方程并不能直接用韦达定理化简，计算量相当大，你可以尝试一下。

        分析题目，A、B、C、D既是两条给的直线和抛物线的交点，而且也是对角线和抛物线的交点，非常适合用曲线系方程解题。（第一次讲这种题我说得详细一点）。

由于是两条直线和抛物线的交点，所以要先写出这两条直线的并集曲线：

(2x－5y＋16)(2x＋5y＋24)＝0

为了计算方便，我们假设t＝2p＞0

所以经过A、B、C、D四点的曲线系方程可表示为：

C₁：(2x－5y＋16)(2x＋5y＋24)＋λ(y²－tx)＝0，

这里选择把λ设在抛物线方程前，可以减少含λ的项数。

同样为了好算，我们把两条对角线的方程设为：

x＋ky＋a＝0和kx－y＋b＝0，

其中k≠0（大题记得讨论这种情况）

那么它们的并集曲线就是C₂：(x＋ky＋a)(kx－y＋b)＝0

显然C₂是经过A、B、C、D这四个点的，

则C₂属于C₁这个曲线系，即存在一个λ，使C₁⇔C₂。

我们把两个方程展开并化简：

C₁：4x²＋0xy＋(λ－25)y²＋(80－λt)x－40y＋384＝0

C₂：kx²＋(k²－1)xy－ky²＋(ka＋b)x－(kb－a)y＋ab＝0

根据多项式定理（即系数对应），这两个方程对应项的系数成比例，可以得到一堆方程。但是先别急着列方程，因为一般这样列出的方程可以直接解出几个未知数。

首先，xy项系数为0，则k²－1＝0，k＝±1

其次，4/k＝(λ－25)/-k，λ＝21

①当k＝1时，4C₁＝C₂，则：

4(a＋b)＝80－21t

4(b－a)＝-40

4ab＝384

先根据后两式解出a、b，进而解出t＝8或t＝-8/21(舍)

②当k＝-1时，-4C₁＝C₂

与①同理，得到t＝8

综上，t＝8，所以抛物线的方程为y²＝8x

        从这道题可以看出，曲线系方程的优势主要体现在多曲线共交点的背景下。这一类问题算比较常见了。

二、椭圆系

1、同时使用两个参数

        曲线系法的基本套路是先根据题目条件，列出曲线系，再根据已知点坐标解出参数，进而求得方程。在上期专栏中，我们都是使用一个参数λ来控制曲线系。但是有的题目可能需要引入两个参数才能解决。

例2：

已知椭圆C的长轴与x轴平行，且经过点B(-3,-√6/2)，C(0,-√6)和抛物线：y²＝2x和圆：(x-2)²＋y²＝4的两个交点(x≠0)。求椭圆的方程。

        首先解出交点(2,±2)。如果是常规做法，就得假设椭圆的方程为(x-m)²/a²＋(y-n)/b²＝1，然后把四个点的坐标依次代入，得到四个四元二次方程。这其中的艰辛你懂的。

        既然这题那么多曲线交于一点，不妨尝试一下曲线系。如果假设C：(x-2)²＋y²-4＋λ(y²-2x)＝0的话，你就会发现，代入不同的点坐标，得出的λ是不同的，而且算出来的方程，表示的也不是椭圆。这是因为你没有把两个点的坐标都用上，自然也就得不到所求的椭圆。

        在本题中，为了使列出的曲线系方程表示椭圆，必须满足x²，y²可以有不同的系数，且不存在xy项。

        既然想代入两个坐标，必然会得到两个方程，所以需要有两个参数。如果引入另一个参数μ的话，就还差一个经过A，D的曲线。答案有无数个，但我们只取最简单的，这里很容易找，它就是直线x＝2。

故假设方程C：(x-2)²＋y²-4＋λ(y²-2x)＋μ(x-2)＝0

代入B：25＋3/2-4＋λ(3/2＋6)＋μ(-3-2)＝0

代入C：4＋6-4＋6λ＋μ(-2)＝0

解得λ＝1，μ＝6，代回原方程得x²/12＋y²/6＝1。

        怎么样，是不是简单多了。不论有多少曲线交于同一个点，对于曲线系方程来说也只不过是多了个参数，要解的也不过是多元的一次方程，并不会太复杂。

        可惜的是这种题很少见，所以一般来说不会用的多参数的曲线系方程，大家知道有这种用法就好。

2、实战

例3（全国卷高考题）：

已知点A(2,1)、B、C在椭圆x²/6＋y²/3＝1上，且满足BA⊥CA，AD⊥BC，垂足为D。若D到平面内某一点Q的距离始终为定值，则Q的坐标为＿＿＿＿。

方法一：曲线系

        话不多说直接上曲线系。根据题目知道要求一个圆的圆心，而这个圆是D的轨迹。首先观察图形，当A、B接近重合时，D也接近重合A，所以这个圆过点A。这题没有直接给出方程，所以需要找经过A、D的曲线。在这题中，很明显就是○ABD和○ACD。

设B(x₁,y₁)，C(x₂,y₂)，D(x,y)则：

C₁：(x－x₁)(x－2)＋(y－y₁)(y－1)＝0

C₂：(x－x₂)(x－2)＋(y－y₂)(y－1)＝0

曲线系C：(x－x₁)(x－2)＋(y－y₁)(y－1)＋λ[(x－x₂)(x－2)＋(y－y₂)(y－1)]＝0

化简得：(1＋λ)x²－(x₁＋λx₂＋2＋2λ)x＋2x₁＋2λx₂＋(1＋λ)y²－(y₁＋λy₂＋1＋λ)y＋y₁＋λy₂＝0

所以需要求出x₁、x₂

于是设：AB：y＝k(x－2)＋1，AC：y＝-1/k(x－2)＋1，

接下来是常规套路，联立方程，利用韦达定理得到两根积，再除A的横坐标算x₁、x₂，解得：

x₁＝(4k²－4k－2)/(2k²＋1)

x₂＝(－2k²＋4k＋4)/(k²＋2)，把x₁中k换成-1/k就是x₂

根据y₁＝k(x₁－2)＋1，y₂＝-1/k(x₂－2)＋1算出y₁、y₂

把x₁、x₂、y₁、y₂代入方程，得到一个只含λ和k两个参数的代数式

因为我们需要找的是过A、D的定圆，所以这个方程里不能出现参数，本质是个恒成立问题。因此，需要找到一个合适的λ把k消去。

经计算λ＝(k²＋2)/(2k²＋1)

把λ代入，化简得C：(x－4/3)²＋(y－1/3)²＝8/9

故圆心Q(4/3,1/3)

方法二：找定点（这也是标准答案）

设B(x₁,y₁)，C(x₂,y₂)，BC：y＝kx＋m

用向量刻画垂直：(x₁－2)(x₂－2)＋(y₁－1)(y₂－1)＝0

联立直线BC和椭圆方程，把y₁、y₂用直线方程替换为x₁、x₂，再用韦达定理化简：

得到2k＋3m＋1＝0，或m＋2k－1＝0

把m或k换掉，得到BC过定点E(2/3,-1/3)或A(2,1)（舍去）

这时ADE构成直角三角形，所以AE就是圆的直径

所以圆心Q(4/3,1/3)

        两种方法都可以做，计算量上也差不多，操作难度都不算很高，可以灵活变通选择。

        这里还没有涉及到双曲线，但实际上双曲线和抛物线、椭圆的用法没有太多区别，照葫芦画瓢就可以了。

       曲线系的用途非常广泛。本文介绍了三种求λ的方法，一是用多项式定理（如例1），二是根据曲线的方程特征和坐标代入（如例2），三是利用恒成立解方程（如例3）。

        还有一个要注意的地方是，曲线系表示的曲线中不包含λ后的那个曲线，有些特别坑的题目中可能需要单独讨论，但绝大多数时候不会遇到，也不需要讨论。

        最后预告一下，下一期会介绍曲线系方程的一个终极用法，绝对高端，敬请期待。

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