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1、建模课程设计-考试题目1.蠓虫的分类实验目的:学习利用向量夹角余弦建模方法进行生物种类的判别,熟悉回代误判率与交叉误判率的计算,熟练掌握Matlab关于向量的内积,范数,均值的计算,提高综合编程能力.问题描述两种蠓虫Af和Apf已由生物学家根据触角长度和翅长加以区分,现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长,翅长的数据如下:Apf:(1.14,1.78),(1.18,1.96),(1.20,1.86),(1.26,2.00),(1.28,2.00),(1.30,1.96)Af:(1.24,1.72),(1.

2、36,1.74),(1.38,1.64),(1.38,1.82),(1.38,1.90),(1.40,1.70),(1.48,1.82),(1.54,1.82),(1.56,2.08)问题1.如何依据以上数据,制定一种方法,正确区分两类蠓虫.2.将你的方法用于触长,翅长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)的3个样本进行识别.3.设Af是宝贵的传粉益虫,Apf是某种疾病的载体,是否应该修改分类方法.4.衡量两个向量之间的接近程度还有哪些方法,据此建立新的判别方法,并

3、与上述方法进行比较,由此你有何发现?2.最速落径实验目的1.熟悉用计算机模拟解决物理中的极小值问题2.进一步熟悉多元函数求极值问题实验内容及要求问题提出:如下图所示:图1设A,B是不在一条铅垂线上的两点,在连接A,B两点的所有光滑曲线中,找出一条曲线,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自A点下滑到B点所需的时间最短.分析:由A到B的曲线如果是直线AB,质点沿直线AB的运动是匀加速的,平均速度,所需总时间为问题1:对从A到B的曲线,如果是a)圆弧,b)抛物线,计算所需的时间,圆弧和抛物线的选择不是唯一的

4、,你可任选一条,看哪种方案所需时间少些.时间与曲线的选择有关吗?问题3:作图,将模拟出来的最速落径曲线和理论曲线相比较,比较模拟效果如何.问题4:理论推导最速落径曲线方程:提示:根据费马定律,光在媒质中总是走最省时间的路线,是否可以让质点模拟光的行为,按照光的折射定律运行,这样走出的轨迹就是最速路径.3.投资的收益与风险实验目的:学会利用线性规划建立数学模型的方法,利用Matlab在给定风险的条件下求解最大收益的投资方案,建立风险与收益的函数关系.实验内容及要求1.问题描述:市场上有种资产(如股票,债券

5、等等),供投资者选择,某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资,公司财务人员对这种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买的平均收益率为,并预测出购买的风险损失率为,考虑到投资越分散,总的风险就越小,公司确定,总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量.购买要付交易费,费率为,并且当购买额不超过给定值时,交易费按购买额计算,(不买无需付费),另外,假定同期银行存款利率是,既无交易费又无风险(1)已知时的相关数据如表1:表1282.51103211.52198235.54.552252.66.5

6、40试给该公司设计一种投资组合方案,用给定的资金有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小.(2)试就一般情况对以上问题进行讨论,并利用下表的数据进行计算表2(元)(元)9.6422.118133.653.32.747518.5543.240736.8402.924849.4606.042811.8315.119523.9421.554995.55.73208.11.27.627035462.726714393.43979.45.34.532840.7685.6178152

7、37.613131.233.43.12202.问题的分析与模型的建立建立一个确定投资比例的向量模型,使资产组合的净收益尽可能大,而总体风险尽可能小.设分别是银行存款和投资于的投资比例系数,由于银行存款既无交易费又没有风险,故总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量,于是投资组合总体风险为由于题设给出为相当大的一笔资金,为了简化模型,认为该公司投资每一项资产都超过给定的定值,于是资产组合的平均收益率为为了使平均收益率尽可能大,而总体风险尽可能小,采取固定总体风险的一个上界,使得总体收益取得最大,运用Ma

8、tlab软件,对总体风险的上界从[0,3],取步长为0.01,计算301种不同风险时的总体收益的最大值及相应的投资比例系数.问题:1.绘制投资方案的净收益率与风险损失率的关系曲线,并分析之.对该曲线给出函数描述.2.计算风险为0.1,0.2,,2.5时的投资比例系数与收益.3.建立一般情况下的投资组合模型,并利用2中数据进行计算.4.湖泊水质富营养化的综合评价实验目的：学习利用距离函数建模的方法，掌握客观性圈中的变异系数法以及综合评价的基本方法，熟练掌握Matlab处理矩阵的各种方法。实验内容及要求：近

9、年来，我国淡水湖水质富营养化的污染日益严重，如何对湖泊水质的富营养化进行综合评价与治理是摆在我们门前的一项重要任务，下面两表分别为我国5个湖泊的实测数据和湖泊水质的评价标准：表3全国5个主要湖泊评价参数的实测数据湖泊指标总磷(mg/L)耗氧量(mg/L)透明度(m)总氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武汉东湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23表4湖泊水质评价标准评价参数极贫营养贫营养中营养富营

10、养极富营养总磷660耗氧量27.1透明度>37122.40.554.6问题1.试利用以上数据,分析总磷,耗氧量,透明度和总氮这4种指标对湖泊水质富营养化所起的作用,哪个所起作用最大.问题2.对上述5个湖泊的水质进行综合评估,确定水质等级.5.足球赛排名问题实验目的:1.学习建立效益型矩阵的方法,利用各向量与理想点Mahalanobis距离函数进行排序.2.熟练掌握Matlab中处理矩阵,进行秩和比检验的方法实验内容及要求问题下表给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩,

11、要求:1.设计一个依据这些成绩排除诸对名次的算法,并给出用该算法排名次的结果.2.把算法推广到任意N个队的情况3.讨论:数据应具备什么样的条件,用你的方法才能排出诸队的名次.表5T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T10:11:00:02:21:00:22:03:11:03:11:00:11:30:22:11:04:01:11:1T22:00:11:30:02:00:01:12:11:11:10:00:02:01:10:20:0T34:21:10:02:13:01:01:40:13:1

12、1:02:30:12:0T42:30:10:52:32:11:30:10:00:11:1T50:11:01:20:11:1T6T71:02:00:02:13:01:03:13:02:23:12:0T80:11:22:01:11:00:13:10:0T93:01:00:01:01:0T101:02:0T111:11:21:1T12对上表的说明如下:1.12支球队依次记为T1,T2,,T12.2.符号表示两队未曾比赛3.表中的数字表示两队比赛结果.6.水中倒影实验目的:模拟微幅波浪水中的倒影,探究影响倒影长

13、度的有关因素,解释日常生活所观察到的现象.问题描述：站在岸边看水中倒影,仔细观察不难看出,同样高的灯柱,人灯间距越大,灯光倒影越长;人灯间距不变,灯柱越高,灯光倒影越长;人站得越高,所看到的同一个灯柱灯光的倒影越短;波浪越大,灯光倒影拉得越长;灯光倒影根部清晰明亮,顶部稀疏黯淡.问题1.根据光的反射定律,建立水中虚像的坐标与人,物间距,物点高度,观察者高度,波浪大小(波浪表面与水平面的夹角)之间满足的方程式,并用软件求出该方程的数值解,画出物点在水中的虚像,解释日常生活所观察到的这一物理现象.参考数据：

14、问题2.如果波浪不是对称的，比如迎风角与背风角相差几度，那么，迎风与背风所看到同一个物体（这里假设都一样）的倒影长度是否一样长呢？请你观察风成波的形状，模拟计算并画出迎风和背风所看到的倒影图像，合理解释这一现象。提示:这里只考虑由风力所形成的微幅波,波形曲线微圆余摆线,参数方程为其中,波速为7.资源优化配置问题实验目的:学习动态规划方法,利用软件编程计算最优决策序列和总利润的最大值，并且掌握利用inline建立编程函数的方法.试验内容及要求:问题：某公司新购置了某种设备6台,欲分配给下属的4个企业.已知

15、各企业获得这种设备后年创利润如下表所示,单位为千万元,问应如何分配这些设备能使年创总利润最大,最大利润为多少?表6各企业获得设备的年创利润数企业设备甲乙丙丁0000014234264553767647886579866710868.应聘问题实验目的:随机模拟方法问题描述:设想一个经理要从N个应聘者中雇佣一名秘书.按照某种标准,可以用分别表示这些应聘者的优劣的绝对名次.1表示最优者,N表示最劣者.假设这些应聘者是逐个到来接受经理面试的,并且应聘者到来的优劣次序是随机的.经理每次会见一名应聘者,面试后决定录

16、用与否.如果录用到当时面试的应聘者,则停止下面的会见,否则面试下一位.假定每个当时不被录用的应聘者是不能事后再召回录用的.在经理每次面试后,他只知道当时的应聘者与先前已面试者比较的相对名次,而不知道当时应聘者的绝对名次.现在要问经理要怎样决定他的录用策略,或者说经理在何时停止他的会见(录用当时的应聘者)是最优的.当然这里最优要有一个标准,通常采用下面的两种标准:(1)第一标准:使录用到最优应聘者的概率最大;(2)第二标准:使录用的应聘者的绝对名次尽量的小。问题1.在以上两种不同标准之下,分别讨论录用策略

17、.问题2.对N=100,分别对不同的G做模拟,求出成功的概率,然后找出最优的G值,并求出此时录用到第一名的概率。问题3.分别给出N=50,100,200,300,400时的最优的G值(用表示)及相应的成功概率,观察N趋向于无穷大时,的值以及成功概率有无极限。9.猪的最佳销售问题一般从事猪的商业性饲养和销售总是希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润是饲养者必须首先考虑的问题。如果把饲养技术水平、猪的类型等因素视为不变的，且不考虑市场需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出

18、时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养的越大，售出后获利越大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就越多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。试做适当的假设，引入相应的参数，建立猪的最佳销售时机的数学模型。预备知识：盈亏平衡原理在一个追求最大利润的经济活动中，设X(t)为t时刻保有某种价值的对象所增加的价值，Y(t)为保有者t时刻所支付的费用，X(t),Y(t)分别为随时间递减和递增的函数，且X(0)>Y(0).保有者可以在某个时刻将保有对象出售

19、以获得利润，那么保有者获得最大利润的出售时刻为盈亏时刻t*，t*满足表达式X(t*)=Y(t*).实验要求：1、设猪开始进行商业性饲养的时刻t=0,x(0)为t=0猪的体重，x(t)为猪在时刻t体重，X为猪在时刻t最大体重，y(t)为一头猪t时刻共消耗的饲养费用，xs为猪可售出的最小体重，小于xs的猪，收购站不予收购，ts为猪从重x(0)长到xs所需时间，C为猪的单位重量售价，C0为刚出生小猪的单位价格假设：（1）由于开始进行商业性饲养时已有一定体重，所以可以假设猪体重增长的速度将不断减慢，设反映猪体重

20、增长速度的参数为.（2）由于猪的体重越大，单位时间消耗饲养费用就越多，达到最大体重后，单位时间消耗的饲养费接近某一常数。问题：建立数学模型，假定某品种的猪，X=200。省略部分。（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；（6）当水箱的水容量达到514.8103g时，开始泵水；达到677103g时，停止泵水。表7原始数据时间(s)水位(10-2E)时间(s)水位(10-2E)03175446363350331631104995332606635305453936316710

21、619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水85968347539435355089953339743318344593270334013.飞机票的预定策略问题预备知识：基本假设，乘客间彼此独立。问题:航空公司为某次航班发售机票，若发售机票太多，乘客不能按时登机，公

22、司不仅要付给乘客一定的赔偿费，而且乘客还怨声载道；若太少，公司也将蒙受损失。问：应如何确定发售机票数，使公司、乘客均满意？设相关量如表1所示：飞机容量与之间的关系为。于是该问题实际上变为：求，使最大且不能太大（如）表8飞机容量机票价格飞行费用（与乘客多少无关）乘客准时到达机场而未上飞机的赔偿费个乘客迟到的概率每位乘客迟到的概率发售机票数公司的平均利润超过个乘客不能按时登记的概率（声誉指标）实验内容与要求：1.建立平均利润ES的数学模型2.设，取3.编程计算和，从而近似确定，并画出和随变化的关系图。14.

23、用餐效益优化问题问题:长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假

24、如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。 15.站位及排人墙设计问题问题：02年中国队首次闯进世界杯赛，兴奋之余也深知自己水平有限，于是苦练定位球。请你根据任意一个罚球的位置、排成人墙队员的人数以及守门员的站位设计一个定位罚球的线路。反过来，如果你是守门员，请你设计如何站位及如何排人墙。16.蒙特卡罗方法解物理实例实验目的：学习用蒙特卡罗方法解决实际问题。

25、问题1.假设从远离地面的某处，以的初速度连续不断地垂直向上抛出小球。是服从正态分布，抛球流量为每秒n个，n=1000。设开始抛球的时刻为t=0，垂直向下为z轴正方向，抛球点位于z轴零点。令，，。计算t=14s时，在区间(i=1，2，…，10)小球数的数学期望。问题2.计算，其中。为提高精度我们还可选取其它随机数促进蒙特卡洛的收敛性，例如选取有利随机数来代替均匀随机数，可在较少随机点的情况下使计算精度大大提高，参阅文献[1].[1]何凤霞,张翠莲.蒙特卡罗方法的应用及算例.华北电力大学学报.2005,5.

26、110-112.17.市场服务超市有两个出口的收款台，两项服务：收款、装袋。两名职工在出口处工作。有两种安排方案：开一个出口，一人收款，一人装袋。开两个出口，每个人既收款又装袋。问商店经理应选择哪一种收款台的服务方案。选择服务方案的标准：1、顾客平均等待时间最短2、每分钟服务的顾客数量最多3、服务的工作效率最高（除去空闲时间，每位职工每分钟实际服务顾客数最多）目标：编写两种情况下的仿真程序，根据两个模拟结果评价两个方案，确定出口处收款台安排方案。对两种服务方案分别模拟30分钟内收款台的排队情况，通过比较

27、确定首选方案。假设：1、顾客到达收款台是随机的，服从规律：40%的时间没有人来，30%的时间有一个人来，30%的时间有2个人来。2、收款装袋的时间是相同的3、在第一种方案中，收款与装袋同时进行注意：每重复一次模拟所得到的结果都不一样，需要经过多次模拟，求得统计意义上的顾客平均等待时间，以及平均每分钟服务的顾客人数。18.施肥效果分析【问题提出】施肥效果分析（1992年全国大学生数学模型联赛题A）某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实

28、验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。土豆：NPK施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.35

29、6725.724936.069334.8610132.297337.9614039.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22生菜：NPK施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)011.020

30、6.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3314016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.40【设计任务】根据题目要求建立模型并求解。【参考例子】洗衣机的节水问题【相

31、关资料】回归分析最优化方法19.一个游击战问题战争作为人性的负面总是伴着社会的发展，它是一个复杂的问题，涉及兵员、武器、地理、士气、指挥艺术，后勤、气候等等的综合作用。这样的模型一般是很难建立的。但在一定合理假设的条件下，还是可以近似建模的。比如说解放区的抗日战争，日军凭借人数、武器和资源等的优势，常常对人民武装进行打击、扫荡。而人民军他总是凭借自己的地利优势，群众基础、灵活机动等来抗击敌人的打击，从而牵制和消灭敌人。假设有一次，由于叛徒的出卖。日军获知一支人数为400人的游击队在某一个面积为60平方公

32、里的山区活动。于是派出了人数为900人的部队分三路进行包围打击。游击队在敌人进攻前也得到了敌人要来的情报。于是研究组织了应敌之策。假设你是一个指挥员或作战参谋，请你分析建立一个模型，来预测这次战斗，我方人员能否摆脱敌人的包围，设计一个方案使我方能有效地打击敌人。【设计任务】1、建立微分方程模型（参考战争预测等微分方程模型）；2、求解模型的解析解或者数值解（如果可行的化，求解析解可以自己推导或者借助matlab符号求解函数；求数值解可以通过数值分析算法进行或者调用mtlab函数ode系列函数）；3、画出图

33、形进行直观的分析和展示；4、写出论文。20.渡口模型【问题提出】一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船。他正在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆，并关心一次可以运多少辆车，其中有多少小汽车，多少卡车，多少摩托车，他观察了数日，发现每次情况不尽相同，但他得到下列数据和情况：（1）车辆随机到达，形成一个等待上船的车列。（2）来到渡口的车辆中，轿车占40％，卡车占55％，摩托车占5％（3）轿车车身长为3.5～5.5米，卡车车身长为8～10米。这是一个

34、遵循“先到先服务”的随机排队问题，涉及到排队论的基本知识。这里试着用一个模拟模型解决船主的问题，主要是给出解决问题的思路。【设计任务】请考虑以下问题：（1）应该怎样安排摩托车？（2）怎样描述了一辆车的车身长度？（3）到达的车要加入甲板上两列车队的哪一列中去？（4）如何考虑“安全”问题？请就以上问题建立数学模型，最终保证安全，并运用计算机进行模拟车辆到达、安排停车过程。【参考例子】“赶上火车的概率”【相关资料】1、系统模拟（计算机模拟）2、Matlab数学软件及随机函数21.超市收费系统一、目的与意义：1

35、、练习模拟模型的建立过程；2、进一步熟悉模拟算法的设计、编程问题。二、要求：1、熟练应用Matlab的随机变量的模拟函数；2、加强离散系统模拟算法的分析和设计训练；3、提高Matlab的编程应用技能。一小超级市场有4个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1s），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5min，付款则仅需0.5min。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。请你建立一个模拟模型，用于比较现有

36、系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是0.5min，顾客购买商品件数按如下频率表分布。件数9~1920~2930~3940~49相对频率0.120.100.180.280.200.12【设计任务】根据题目要求建立模型并求解。22.开放式基金的投资问题某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择。每个项目可以重复投资，根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，且有个上限。这些项目所需要的投资额已经知道，在一般情况下，投资一年后各项目所得利润也可估计出来，见表一

37、：表一投资项目所需资金及预计一年后所得利润单位：万元项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资额67006600485055005800420046004500预计利润11391056727.51265116071418401575上限3400027000300002200030000230002500023000请帮助该公司解决以下问题：1、就表一提供的数据，试问应该选取哪些项目进行投资，使得第一年所得利润最大?2、在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。公司在咨询了有关专家后，

38、得到如下可靠信息：1)如果同时对第1个和第3个项目投资，它们的预计利润分别为1005万元和1018.5万元；2)如果同时对第4、5个项目投资，它们的预计利润分别为1045万元和1276万元；3)如果同时对第2、6、7、8个项目投资，它们的预计利润分别为1353万元、840万元、1610万元、1350万元；4)如果考虑投资风险，则应该如何投资使得收益尽可能大，而风险尽可能的小。投资项目总风险可用所投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出的投资项目Ai的风险损失率为qi，数据见表二。表二投资项目的风险损失

39、率项目编号风险损失率A1A2A3A4A5A6A7A8qi(%)3215.52331356.54235由于专家的经验具有较高的可信度，公司决策层需要知道以下问题的结果：（1）如果将专家的前3条信息考虑进来，该基金该如何进行投资呢？（2）如果将专家的4条信息都考虑进来，该基金又应该如何决策？开放式基金一般要保留适量的现金，降低客户无法兑付现金的风险。在这种情况下，将专家的4条信息都考虑进来，那么基金该如何决策，使得尽可能的降低风险，而一年后所得利润尽可能多？实验要求说明：1、考虑前3个问题的建模与求解；2、

40、第4个问题选做。