想一想：燃绳计时

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人教版“数学广角”

实验教材与修订教材比较

第一部分

【数学广角之核心】

在小学数学教材中，“数学广角”是人教版独有的一个内容，其核心就在于渗透数学思想，对学生的思维发展起到重要的作用。“数学广角”作为人教版小学数学教材独特的亮点，以为数不多的生活思维问题为教学背景，在师生互动和教师引导下，学生层层递进，逐步构建发展数学思维能力。

数学教育的最终目的是要着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展。《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”“学会独立思考、体会数学的基本思想和思维方式。”“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”并对总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个维度进行具体阐述。在“数学思考”中再次明确提出“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。无论是从“双基”到“四基”的增加，还是从“三维”目标到“四维”目标的转变，都能看出我们的数学教育正在向更深层次的目标发展前进。

“基本思想”从整个数学教学主线来看主要是合情和演绎，但是小学数学中的数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。因小学义务教育自身带有基础性、普及性，数学思想也便附上了具体的一层内容和学习涵义，即学生要通过具体的认知过程，独立思考，在合作交流中理解并内化。

第二部分

【国外研究背景】

在国外，从教材上虽然看不到“数学广角”这样类似的字眼，但对于数学思想的渗透和思维的培养是国内外教育改革共同的发展方向和重点。从这一点出发，我们就可以找到国外小学数学在这一方面作出的努力和变革。早在数学发展和演进的历史过程中，不同时期的各国数学家诸如：亚里士多德、培根、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等人都对数学思想的发展做过重要的贡献。波利亚从20世纪30年代起就开始从数学教育的角度来论述数学思想方法，并开创了后人沿用至今的数学启发法。不仅如此，在近现代国外一些发达国家的教育改革中也能看到对数学思想的教学指导方向和教学目标，比如：

美国在2000年公布的《学校数学教育的原则和标准》中提出：“从学前期至十二年级的数学教育应该使所有的学生都能够认识到推理和证明是数学的基础；提出并探讨数学猜想；发展和评价数学推理和证明；选择和运用不同的推理和证明方法。同时，使学生能通过交流、组织和巩固他们的数学思维；分析和评价他人的数学思维和策略等。”

新加坡2005年公布的小学数学教学大纲指出：“小学阶段要发展学生逻辑地进行演绎推理和归纳推理的能力，通过解决数学问题和进行解释，发展数学思维与推理的技能；能用数学语言交流数学思想，并能精确、简明和逻辑地进行论证；用数学思想作工具进行原创性的工作。”

日本2008年新修订的《小学数学学习指导要领》中对数学思想的要求有：“小学阶段培养学生对日常生活中的事物进行预见性的、有条理的思考及表达的能力；同时，使学生意识到数学活动的乐趣和数学思想方法的优越性，培养学生在生活和学习中积极地活用数学的态度。”

国外的教育研究者从更深远的数学思想渊源出发，长期以来重视并在教学实践中审视数学思想的教育目的和意义，在数学思想与教学的关系以及数学思想与课程的关系等方面有着更深的理论研究和实践经验，对我们有着很大的借鉴价值。

第三部分

【不同时期教材对比】

人教版小学数学实验教材（以下简称实验教材）具体编排参考《义务教育课程实验教科书·教师用书》梳理如下表：

人教版小学数学修订教材（以下简称新教材）具体编排参考《义务教育课程教科书·教师用书》（2013年审定）梳理如下表：

通过整理分析可以看到，不论是实验教材还是新教材，从内容比例上来说，“数学广角”所占篇幅并不多，每一册一般安排2-4课时；从内容领域上来看，“数学广角”属于“综合与实践”领域，而是基于解决一些实际问题或经典算题来获得思想方法的特色版块，不同于传统教学；从每一个课题编排来看，数学思想的渗透呈螺旋上升式，循序渐进展开；即使相同的思想在小学生不同年龄阶段，那也是内容不同，目标不同；从学生学段来看，第一学段以操作直观问题为主，而第二学段以抽象建模问题为主；讨论的问题典型有趣，富有挑战性。就因“数学广角”的种种特殊性，它的课堂更应该呈现出一种不同于常规课堂的魅力和价值。

但是两个版本的教材还是存在一些差异的。从课题编排上来看，新教材删除了“等量代换”、“编码问题”、“找规律”，增加了“数与形”的内容。还有一些课题移到了不同的学期去学习，比如“简单的推理”从二上移至二下，“植树问题”从四下移至五上，“集合问题”从三下移至三上，“鸡兔同笼”从六上移至四下。

再从教材内容上看，新教材的“数学广角”有了以下几点的变化：

1.课题、例题更加精简化系统化，练习针对性更强。

每一册的“数学广角”只教学一个主题，例题的安排循序渐进，不求多，但求逐步培养学生的逻辑思维能力和推理能力。保留的例题情境大致不变，仍以生活情境引入，通过观察、分析、比较、联想等活动方式进行归纳、类比，最后能够掌握并运用。但也有替换例题的例子，比如“植树问题”（见下图），例1和例2没变，实验版教材的例3移到了新教材的“练习二十四”打*的拓展练习。而新教材的例3实际上是完善了“植树问题”不同类型的题型。三道例题分别呈现了①非封闭线路的两端都要植树；②非封闭线路的两端都不要植树；③非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树。细看例3的题目，它是一道封闭线路上的“植树问题”，但小精灵的话做了一个引导，把圆拉直成线段，这样就转化成第③类。从这样的变化来看，新教材对于例题的设置更加系统化，把知识体系建构地更加完整流畅。

2.注重剖析、理解题意，提取关键词加以讨论。

新教材中多了这样一类的问题：“‘总有’和‘至少’是什么意思？”。这些往往是题目当中的关键，有助于理解题目的含义。在真正理解题意的前提下，学生才能有路可寻，更加明确地抓住问题的本质去进一步思考和讨论。如新教材的“鸽巢问题”（见下图）就增加了一个“魔术”引入激发学习兴趣，并从题目当中找出了“总有”和“至少”引起学生的注意和思考，抓住了这两个词才能更容易想到如何去分配，这样能让学生的思路更加清晰。同时这也体现了新教材对学生的审题能力的关注和培养。

3.引导性语言增多，以提问形式激发学生思考。

主题图中以对话的形式增加了一些提问或质疑，如“怎样做才能不重不漏？”“如果不平衡呢？”“这样做对吗？”······只接受，缺少思考的学习是被动的，也是暂时的习得。这些问题呈现了学生在思考过程中可能会出现的实际问题，由此形成思维的碰撞，在学生思想的相互补充和矛盾激发下，更有利于“数学广角”思想的形成。

4.培养有序、全面思考问题意识，鼓励数学表达。

新教材不再是追求知识技能的习得，还注重学生的数学表达能力，就是用文字、图形等多种形式把数学思维过程表述出来。“数学广角”内容都较为抽象，小学阶段的学生就更加依赖于图形，以数形结合的方式去阐述自己的思考过程。我们的数学学习实质上是数学思维活动，交流是思维活动中重要的环节，所以数学表达是数学思维的载体，有助于提高学生的逻辑思维的严密性。如新教材的“找次品”（见下图），教材的例1增加了半页的内容，先引导学生不实际称，利用天平平衡的原理表示找次品的过程，学生可以通过合作学习，分工操作、记录，这一过程可以增强学生的逻辑推理能力。再出示一种记录方式，可以帮助学生用更加清晰的方式表达推理过程，学会用数学的语言方式去表达和思考。

5.增加了“你知道吗？”，介绍相关数学文化。

这个小板块主要穿插一些数学文化、数学方法。学生阅读“你知道吗？”可以拓宽视野，了解到一些数学史，激发学生学习数学的兴趣，培养积极的态度价值观。

除此之外，在新教材六下总复习中还安排了“整理与复习──数学思考”，主要内容有：【例1】利用数形结合找规律、【例2】列表推理、【例3】等量代换、【例4】简单的几何证明。四道不同的例题素材和形式各不相同，但实质上都是以推理的思想作为主线，也是把各册“数学广角”中的推理方面进行更多的训练，进一步发展逻辑推理能力和解决问题的能力。

参考文献

【1】中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（修订稿）[M].北京师范大学出版社.

【2】全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法，等译.北京：人民教育出版社，2004.53.58.

【3】孔企平.对新加坡小学数学课程特色的分析[J].课程·教材·教法，2006（12）.

【4】文部科学省.小学校学习指导要领[S].东京：东京书籍株式会社，平成20年（2008年）：43.

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想一想

燃绳计时

一根绳子，从一端开始燃烧，烧完需要1小时。现在你需要在不看表的情况下，仅借助这根绳子和一盒火柴测量出半小时的时间。你可能认为这很容易，你只要在绳子中间做个标记，然后测量出这根绳子燃烧完一半所用的时间就行了。然而不幸的是，这根绳子并不均匀，有些地方比较粗，有些地方却很细，因此这根绳子不同地方的燃烧率不同。也许其中一半绳子燃烧完仅需5分钟，而另一半燃烧完却需要55分钟。面对这种情况，似乎想利用上面的绳子准确测出30分钟时间根本不可能，但是事实并非如此！聪明的读者，你能不能想出一种创新的办法测量出半小时的时间呢？

审核人：章 骏 朱添斌返回搜狐，查看更多