复数

复数是 实数和虚数的组合

实数是像这样的数：

差不多所有日常遇到的数都是实数！

虚数的平方是负数。

这通常不会发生，因为：

但你需要想象虚数存在，因为它很有用。

虚数"单位"（像实数的1）是 i，就是 −1 的平方根

因为 i 的平方就是 −1

i2 = −1

虚数例子：

虚数里的 "i" 就是代表要乘以 √−1

复数是实数与虚数的组合：

我们可以把两个数组合成另一个数吗？可以！

分数就是这样。分数 3/8 是由 3 和 8 合成的数，意思是 "八分之三"。

复数是两个数加起来（实数和虚数）。

复数有实部与虚部。

但这两个部都可以是 0，所以所有实数和虚数都是复数。

复数不复杂。

意思只不过是实数和虚数两种数结合起来就是复数。

实数直线是从左向右的。

虚数就是从上到下：

这就是复数平面

一个复数是在复数平面上的一点：

复数 3 + 4i

把两个复数相加，我们分开来加实部和虚部：

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(3 + 2i) + (1 + 7i) = 3 + 1 + (2 + 3)i = (4 + 9i)

我们用视觉方式做：

(3 + 5i) + (4 − 3i) = 3 + 4 + (5 − 3)i = 7 + 2i

把两个复数相乘：

第一个复数的每个部分 和 第2个复数的每个部分

想："首外内尾"（去二项式乘法了解更多）：

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

像这样：

和这样：

用这个公式：

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

例子： (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

这个公式只不过是简化了的 "首外内尾" 法：

这就是：(ac − bd) + (ad + bc)i  。

用公式会快点，但如果你忘了，你也可以用 "首外内尾法"。

我们现在试试用这个公式来求 i2

i 可以写成实部与虚部的组合：0 + i

这就是 i 的定义： i2 = −1

所以这个公式是管用的！

去了解复数乘法。

我们等会儿需要用共轭！

共轭是把中间的正负号改变，像这样：

共轭的一般符号是上面放一条横线：

5 − 3i   =   5 + 3i

复数除法需要用到共轭。

技巧是把上面和下面都乘以下面的共轭。

把上面和下面乘以4 − 5i的共轭：

因为 i2 = −1，所以：

同类项相加（下面的 20i − 20i 约去了！）：

把答案写成 a + bi 的格式：

大功告成！

要做一点儿运算，但是可以做到的。

又有捷径！

留意上面例子里在下面部分的运算：

(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i2

中间的项约去了！ 因为 i2 = −1，我们得到：

(4 − 5i)(4 + 5i) = 42 + 52

答案很简单

这就是个一般通用的公式：

(a + bi)(a − bi) = a2 + b2

做复数除法时，用这个公式可以省点时间：

把扇面和下面乘以 4 − 5i 的共轭：

写成 a + bi 的格式：

大功告成！

美丽的曼德勃罗集（见图）是基于复数的.

曼德勃罗集是把这个简单的方程式 z2+c（两个变量都是复数）的结果重复地代回 z 里的图。

颜色显示 z2+c 增长得多快，黑色表示它的值停留在一个范围内。

这是把曼德勃罗集放大后的图像