一、凸显课标，借“优化”明晰教学本质

溯“本”正“源”明定位。2011年版的新课标中，关于“教材编写”的建议特别强调：“教材的编写要面向全体学生，体现一定的弹性，以满足学生的不同需要……编入一些拓宽知识或者方法的选学内容，增加的内容应注重介绍重要的数学概念、数学思想和方法，而不应片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧”。显然，不同版本的教材其目的是借助其趣味性培养学生的能力，让学生领悟其蕴含的数学思想与方法，而不是将小学数学教育奥数化，增加内容的深度与难度。通过课标分析，我们可以发现，教师在教学时，要准确把握这一教学定位，切忌偏离目标将“鸡兔同笼”变成难题与解题技巧的训练素材。教学实施中要注重数量变化中关系的分析与推理，提炼出解决问题过程中所蕴含的思想与方法，展现出解决问题的思维模型，并使学生能感受、体会、领悟它们，受到熏陶。

二、紧扣教材，借“优化”探寻方式多元

教材作为新课程的显性载体，不仅承载着输送基本知识和技能的任务，而且还承载着提供数学活动的载体，让每个学生积累必要的基本活动经验的功能。因此我们尝试将各版本教材中的“鸡兔同笼”问题进行比较，尝试从单一逼仄的问题解决策略向多元高效的方式方法迈进。

（一）筛查对比，求“同”存“异”

从教材的编排顺序上看，《鸡兔同笼》这一教学内容被安排到了不同年级进行教学。从表1中，我们还可以明显地看出，该内容所涉及的教学对象，最小的是二年级学生，最大的是六年级学生，跨度之大，前所未有。那么，面对如此大的编排顺序差异，编者想渗透的方式方法又是怎样的呢？

由于编入的年级不同，学生的年龄及认知特点不同，其教学目的与贯穿的思想方法也就不同。从表2的对比中，我们可以看出这么几个特点：

1.共同点

各个版本的教材基本都蕴含了：猜想——验证——推理——调整、修改猜想——再验证，直至问题解决的尝试这一科学发现方法；抽象提炼其中的规律与问题模型与思维模型，都体现了“由特殊到一般”“由具体到抽象”的哲学思想；都注重了实际问题的编排和应用所学知识解决实际问题能力的培养；都注重了数学文化的渗透。

2.不同点

（1）途径多样

不同版本教材的例题所要渗透的解决方法并不完全一致，呈现多样性。人教版解决问题的途径更加多样化，其中“列方程”只出现在旧人教版教材的例题中。

（2）策略聚焦

“列表法”成为唯一一种被各版本教材都采用的解决方法。尤其是在北师大版教材中，只选择了列表的策略，让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中，体会出解决问题的一般策略———列表枚举。

（3）方法互通

“画图法与列表法”，“列表法与假设法”有机结合，方法之间互相沟通，帮助学生理解并解决问题。如苏教版例题的解答介绍了提出猜测性假设，画图和列表两种验证、推理、调整的尝试办法，但更突出画图。旨在使学生通过直观的画图，感悟、找出其中的数量变化规律和调整的办法，然后在列表中应用发现的规律进行推理来解决问题，引导学生积极主动地去沟通两种方法之间的联系。

（二）稳中求变，推“陈”出“新”

基于对教材的比较，我们对“鸡兔同笼”问题产生了一些新的思考，为了更好地找到解决这些问题的突破口，我们还对每个思考点进行了任务序列的分解（详见表3）。

“万事俱备只欠东风”，在理清思考点和分解任务后，我们就“鸡兔同笼”这一内容，选取了适度适量的题目，选取了一、四、六3个不同年级的部分学生作为调查对象，进行了前测，试图从中找到问题的答案。

三、把握学情，借“优化”推进深度剖析

（一）纵览学情，寻“路”探“径”

学为中心，深度学习的课堂，需要教师顺应学生思维之“路”，选择合适学习之“径”。为此，我们围绕“对于鸡兔同笼这样的问题学生已经学会了什么？”“本课学习学生真正的思维困难在哪里？”“通过本课学习学生能有怎样的提升发展？”三个问题对学生进行了课前调查。

能够准确回答第1小题的同学占到总数的85%，说明大多数同学都有一定的生活常识；在明确用 O 和 /表示头和脚后，81%的同学能够较好地画出鸡和兔；受第2题的影响，超过半数的同学选择了用画图法解决第3题，有20名程度较好的同学直接用算式解决（见图1）。

图1

72%的同学能将画图或列式的方法迁移到第4题（见图2）。

图2

在前面都是顺向思考的情况下，第5小题出现了逆向思考，从前测中可以发现，前面掌握画图法的同学，在此题也进行了很好的应用共13个，11个同学用了凑数法，4位同学用了连减的方法解决，不知道怎么解决的有40人（见图3），可见学生的思维困难在逆向解决的问题上。

图3

“鸡兔同笼”问题对于四年级学生来说具有挑战性（正确率为35.7%）,正确解决问题的学生主要采用猜测法，其次是列表列举法（见图4、5）。

图4

图5

假设全是鸡或兔的方法，如果学生没有经过课外辅导都不会正确运用。因此列举法是适合学生认知发展水平的有价值的方法，需要学生重点学习掌握。在学生的作品中可以看到，脚数与头数的内在变化关联是学生解决问题的思维障碍所在，其中顾“脚”不顾“头”的错误近20%。可见多数学生解题时只盲目计算，缺乏假设推演，已有的单一线性的解题经验固化了思维，解题的策略性思考能力比较弱。（见图6）

图6

六年级的前测题只不过将4年级的测试题调大了数据，但前测结果却大不相同（正确率为70.6%）。由于5年级学习了方程，所以用方程来解决“鸡兔同笼”问题的人数明显增多；另外，六年级的同学随着年龄的增长和知识面的不断拓宽，假设法、削足法也纷纷出现，可见学生的思维水平有明显的提高。

（二）横觅发展，顺“藤”摸“瓜”

顺着3个年级的前测分析这根“藤”，我们就能逐渐摸到“教学设计优化”这根“瓜”。我们认为，如何让学生用画图法来解决“鸡兔同笼”问题并解决最简单的变式，是一年级教学的重点；如何让学生从不会列举或错误列举到真正学会列举方法，会用列举法解决问题，并进行有序思考是四年级学生学习提升的关键；假设是列举等方法的有效提升，代数是假设的联想的产物，如何将两者有机结合，并为第三学段的学习埋下伏笔，是六年级的课堂所要重点思考的。

四、依循认知，借“优化”形成高效策略

正是由于数学知识之间的紧密联系，数学教材在内容的选择上遵循了一定的“序列”。这种序列既有数学知识逻辑关系的前后之序，也有遵循学生认知规律的发展之序。而“鸡兔同笼”问题由于其特殊性，这方面还存在着急需填补的空白。因此依循序列，借“优化”形成高效策略是我们力求突破与创新之处。

（一）借“石”攻“玉”---- 精选“问题解决”模式

那么如何依循认知序列，进行优化设计呢？他山之石可以攻玉，我国的新课程标准明确提出把“问题解决”作为教学的目标之一，才能展现学生探索的过程及思维过程。而“鸡兔同笼”问题由于其益智性、普适性，问题解决方法的开放性和多样性，使其成为了进行“问题解决”的典型素材。因此，“鸡兔同笼”问题应该基于“问题解决”教学进行，改变以往以题论题的教学方法，避免单纯的传授解题“术”。

我们尝试依循着内容之间的内在联系将“鸡兔同笼”问题进行分散处理，并按渗透波利亚“怎样解题”的数学思维方法，渗透 “问题解决”教学的模式进行教学(详见图7)：

图7

（二）积“微”成“著”----巧用“前期数据”分析

积“微”致著，意为事细微时人所不察，积多积久便成显著，我们对于“鸡兔同笼”问题的研究也是如此。通过“找”基石----课标、教材对比；“理”思路----学情分析；“搭”架子----“问题解决”模式，巧用这些“前期数据”分析，从而优化教学设计，形成“鸡兔同笼”序列课（详见图8），希望能更好地帮助老师们“因材施教”，让孩子们学得轻松，真正做到乐学善学。

图8

把准“学”的起点，在关联处生长核心问题；捕捉“学”的路径，在断层处设置核心问题；彰显“学”的需求，在疑点处派生核心问题；丰盈“学”的厚度，在创生中整合核心问题。笔者所在的教研组尝试以“问题解决”模式为基点，以“核心问题”为引领，以“校本教研”为平台，通过3种不同的策略，设计出“鸡兔同笼”问题在3个不同年级的教案，供同行借鉴。（详见：表4、5、6）

以“问题”促内化，借“优化”求发展，“鸡兔同笼”问题的教学实践虽还不够成熟，但已变得逐渐明朗和充盈：方法各有侧重、序列建构合理、学生能力提升。在尝试的过程中，变化的不仅仅是课堂的框架和路径，还有教学理念上的变化，是源头上的蜕变和教学行动上的华丽转身。而这之后，师生必将有不同的收获。

5

开心一刻

老板的数学经

小张是一家服装店老板，他要工人不双休免加班费上班。

工人背后评价他是张扒皮，上班时间要立方，加班费是虚数，福利待遇微积分，跟他提的意见是无理数，请假扣工资是复数，他说的话是有理数，加薪就是百分数……

总之，他把数学知识发挥得极致。

审核人：黄静飞 方群返回搜狐，查看更多