我们今天就一起来研究一下这样的一类有趣的数——黑洞数。

1. 四位数的黑洞数

随意写出一个四位数，它的各个数位上的数字不都相等（1111，2222，3333等四位数应排除），用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数（如果差等于0999，视0999为四位数）。对于新得到的四位数，一直重复上面的运算，最后你发现了什么？

我们以四位数4194为例，重复题设中的运算步骤，可得一系列算式：

并把这个变换过程简记为：4194→7992→7173→6354→3087→8352→6174→6174→6174→6174。

对于4194这个随意取的四位数，不断重复题设的运算，前6次（（1）~（6））所得的“差”在改变，而后3次（（7）~（9））的“差”却不变，停在6174这个数上，并且从后3次的算式来看，你再重复题设的运算，6174这个差数永远不变，就好像一旦掉进6174这个“黑洞”里就再也出不来了，所以有人称6174这个数为四位数的“黑洞数”。由于题设的“运算”是两百多年前，美国数学家卡布列克提出的，因此也有人把我们上面进行的这种运算方式称为“卡式运算”，把6174称为四位数的“卡布列克常数”。这就意味着，如果你再随意写一个四位数，经过卡布列克运算后，还是要掉进6174这个“黑洞”，永不翻身！

于是得到如下的一个猜想：在卡氏运算下，四位数有黑洞数，并且它等于6174。

2. 三位数的黑洞数

我们已经发现6174是四位数的黑洞数，那么大家可以对应地思考一下：三位数有黑洞数吗？

随意写出一个三位数，它的各个数位上的数字不都相等（111，222，333等三位数应排除），用这个三位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果差等于099，视099为三位数）。对于新得到的三位数，一直重复上面的运算，最后你发现了什么？

猜想：在卡氏运算下，三位数有黑洞数，并且它等于495。

那么，应该怎样证实“三位数有黑洞数495”这个猜想？

证明过程：要证明这个猜想的成立，对所有三位数逐个进行检验不就得了？可是这项工作工作量太大，因为三位数太多了。对卡氏运算来说，检验了一个三位数（如571），就相当于检验了6个三位数（如571，517，715，751，175，157），这是因为这6个数的组成数字是一样的，只不过排列顺序不同。这就是卡布列克运算的基本性质。依据此性质，工作量变为原工作量的 。

接下来还可以大大地简化这 的工作量，这就要依靠大家在初一的时候所学习过的一种代数思想方法——“字母表示数”来帮忙。

设a，b，c是组成一个任意三位数的数字，并设a≥b≥c （a=b=c除外），对此三位数进行一次卡氏运算

（*）式说明，对任何一个三位数 ，进行一次卡氏运算后，所得差是一个三位数（x=0时也视为三位数），它的十位数字等于9，百位与个位的数字和等于9。

这样一来，检验工作又大大地简化了——只要检验以下5个三位数：594，693，792，891，990。

由于990→891→792→693→594→495→495，所以上述5个待验的三位数同时得到检验。

这是一个巧妙的证明——本应对所有三位数进行检验，现在只要检验990这一个三位数就行了。

于是轻松证明了刚才的猜想：在卡氏运算下，三位数有黑洞数，并且它等于495。

3. 两位数的黑洞数

我们已经知道三位数有黑洞数495，四位数有黑洞数6174，那么两位数有没有黑洞数？

随意写出一个两位数，它的各个数位上的数字不都相等（11，22，33等两位数应排除），用这个两位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的两位数（如果差等于09，视09为两位数）。对于新得到的两位数，一直重复上面的运算，最后你发现了什么？

随意取86，21，91分别进行卡式运算，得：

由此产生猜想：

（i）在卡氏运算下，两位数变换为位数和等于9的两位数；

（ii）在卡氏运算下，两位数进入一个周期为5的循环链；

如何用上面证明三位数的黑洞数的方法进行类似证明呢？

（i）设a与b是组成一个两位数的数字，并设“a>b，对此两位数进行一次卡氏运算：

由b