定义：设R是X上的二元关系，如果有另一个关系R’满足：

​ 1.R‘是自反的（对称的，可传递的）

​ 2.R’⊇R

​ 3.对于任何自反的（对称的，可传递的）关系R‘’，如果有R‘’⊇R，就有R‘’⊇R‘。

​ 则称关系R’为R的自反（对称，传递）闭包。记作r(R ),(s(R ),t(R ))

tips:自反（对称，传递）闭包应是包含R的最小自反（对称，传递）关系

定理1：设R是X上的二元关系，那么

​ a) R是自反的，当且仅当r(R )=R

​ b) R是对称的，当且仅当s(R )=R

​ c) R是传递的，当且仅当t(R )=R

定理2：设R是集合X上的二元关系，则

eg1.

定理3：设X是含有n个元素的集合，R是X上的二元关系，则存在一个正整数k≤n，使得

定理4：rs(R )=sr(R )

​ rt(R )=tr(R )

​ ts(R )⊇st(R )

定义：若把一个集合A分成若干个叫做分块的非空子集，使得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。

​ 如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分（或分划）。

符号定义：

​

eg.A={a,b,c}，考虑下列子集：

​ S={{a,b},{b,c}} (覆盖)

​ Q={{a},{a,b},{a,c}} (覆盖)

​ D={{a},{b,c}} (划分)

​ G={{a,b,c}} (划分)

​ E={{a},{b},{c}} (划分)

​ F={{a},{a,c}} (既不是划分也不是覆盖)

最小划分：由这个集合的全部元素组成的一个分块的集合 (eg中的G)

最大划分：由每个元素构成一个单元素分块的集合（eg中的E）

交叉划分：若{A₁,A₂,…,A(r )}与{B₁，B₂,…,B(s)}是同一集合A的两种划分，则其中所有A(i)∩B(j)≠∅组成的集合，称为是原来两种划分的交叉划分

X：所有生物

P：所有植物，A：所有动物 则X可构成{P，A}

E：史前生物，F：史后生物 则X也可构成{E，F}

其交叉划分为：Q={P∩E，P∩F,A∩E,A∩F}

P∩E:史前植物，P∩F:史后植物，A∩E:史前动物，A∩F:史后动物

定理：设{A₁,A₂,…,A(r )}与{B₁，B₂,…,B(s)}是同一集合X的两种划分，则其交叉划分亦是原集合的一种划分

加细定义：给定X的任意两个划分{A₁,A₂,…,A(r )}与{B₁，B₂,…,B(s)}，若对于每一个A(j)均有B(k)使A(j)⊆B(k),则{A₁,A₂,…,A(r )}称为是{B₁，B₂,…,B(s)}的加细

定理：任何两种划分的交叉划分，都是原来各划分的一种加细

定义：设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。

**eg1.**集合T={1,2,3,4},R={,,,,,,< 3,2>,< 3,3>}

​ 则R是T上的等价关系

同余模k关系：x≡y(modk)，x、y被k除有相同的余数

eg2.设***I*为整数集，R={|x≡y(modk)},证明R是等价关系

证明：自反性：∵a-a=k·0, ∴ ∈R

​ 对称性：∵a≡b(modk),a-b=kt,b-a=-kt,∴b≡a(modk)

​ 传递性：若a≡b(modk)，b≡c(modk), 则a-b=kt,b-c=ks,a-c=a-b+b-c=k(t+s),∴a≡c(modk)

​ 因此R是等价关系

定义：设R为集合A上的等价关系，对任何a∈A，集合 称为元素a形成的R等价类

如在eg1中，T的各个元素等价类为：

定理1：设给定集合A上的等价关系R，对于a,b∈A有

定理2：集合A上的等价关系R，其等价类集合 称作A关于R的商集，记作A/R

定理3：集合A上的等价关系R，决定了A的一个划分，该划分就是商集A/R

定理4：集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系

定理5：设R₁和R₂为非空集合A上的等价关系，则R₁=R₂当且仅当A/R₁=A/R₂

定义：设A是一个集合，如果A上的一个关系R，满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系，并把它记为**“≼”。序偶称作偏序集**

定义：在偏序集合中，如果x,y∈A,x≼y,x≠y且没有其他元素z满足x≼z,z≼y,则称元素y盖住元素x，并且记**COV A={|x,y∈A；y盖住x}

eg.设A是正整数m=12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A

解：m=12其因子集合为A={1,2,3,4,6,12}

​ “≼”={,,,,,,,,< 3,6>,< 3,12>,,,,,< 3,3>,,,}

​ COV A={,,,< 3,6>,,}

定义：对于给定偏序集，它的盖住关系是唯一的，所以可用盖住的性质画出偏序集合图，或称哈斯图，其作图规则为：

上例中的哈斯图为：

定义：设是一个偏序集合，在A的一个子集中，如果每两个元素都是有关系的，则称这个子集为链。

​ 在A的一个子集中，如果每两个元素都是无关的，则称这个子集为反链。

tips:若A的子集只有单个元素，则这个子集既是链又是反链

定义：在偏序集中，如果A是一个链，则称为全序集合或称线序集合，在这种情况下，二元关系≼称为全序关系或称线序关系

​ 全序集就是对任意x,y∈A，或者有x≼y或者有y≼x成立。

例如“≤”关系，对任意i，j∈N，必有：(i≤j)或(j≤i)成立，则"≤"是全序关系

定义：设是一个偏序集合，且B是A的子集，对于B中的一个元素b，如果B中没有任何元素x，满足b≠x且b≼x，则称b为B的极大元。同理，对于b∈B，如果B中没有任何元素x，满足b≠x且x≼b，则称b为B的极小元。

tips：

极大元和极小元不是唯一的

当B=A时，偏序集的极大元即是哈斯图中最顶层的元素，其极小元是哈斯图中最底层的元素，不同的极小元素或不同的极大元素之间是无关的

定义：令是一个偏序集，且B是A的子集，若有某个元素b∈B，对于B中每一个元素x有x≼b，则称b为的最大元。同理，若有某个元素b∈B，对每一个x∈B有b≼x，则称b为的最小元。

性质：

令为偏序集且B⊆A，若B有最大（最小）元，则必是唯一的

在最大（最小）元的定义中，当子集B与A相等时，B的最大（最小）元就是偏序集的最大（最小）元

定义：设为一偏序集，对于B⊆A，如有a∈A，且对B的任意元素x，都满足x≼a，则称a为子集B的上界。

​ 同样地，对于B的任意元素x，都满足a≼x，则称a为B的下界。

tips:上界和下界不是唯一的

定义：设为偏序集且B⊆A为一子集，a为B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≼y，则称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B。

​ 同样，若b为B的任一下界，若对B的所有下界z，均有z≼b。则称b为B的最大下界（下确界），记作GLB B。

定义：任一偏序集合，假如它的每一个非空子集存在最小元素，这种偏序集合称为良序的。

eg. I={1,2,…,n}及N={1,2,3,…}，对于小于等于关系来说是良序集合，即，是良序集合

性质：