数列极限，是数列和极限两个充满不确定性的概念相混合，容易让人产生摸不着头脑，看到题目就害怕的感觉，本篇文章就按以下目录对这块儿重难点拨云见日，内容循序渐进，越往后越精彩，大家可以自行感受一下！

01 什么是数列 02 数列的极限 03 数列极限的计算(三种类型) 04数列相关证明题(两种类型)

从字面意思就可以看出来：数列数列，就是将数排成队列。详细点来说，就是将一堆数按照某种规律排成一排，p.s.类似军训，教官让我们按照从矮到高(某种规律)排成一排。 这时，有个数在开小差，教官就开始点名了。还记得我们当时军训时教官是怎么点名的么?

“第m排第n列,请出列”——这耳熟能详的语句。

由于我们的数只有一列，所以我们就变成了，“第n个数请出列”。为了描述方便我们用符号 x n x_{n} xn​ 表示，含义为第n个数，于是就有 x 1 = 1 2 ， x 4 = 1 16 ， x 5 = 1 32 x_{1}=\frac{1}{2} ， x_{4}=\frac{1}{16} ， x_{5}=\frac{1}{32} x1​=21​，x4​=161​，x5​=321​。如果可以用某个含n的式子来表示 x n x_{n} xn​ ，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，例如本文举例的数列，它的通项公式就是： x n = 1 2 n x_{n}=\frac{1}{2^{n}} xn​=2n1​ 。有了它，我们就可以快速get这一列数中的每一个数，是不是很方便。

但是，人总是贪心的。所以一定会有人问：“你不是说每一项你都知道么？那么第无穷项是多少呢？”这个时候就涉及到了数列的极限。

针对刚刚的问题——数列{ x n x_{n} xn​ }的“无穷项”是多少？即当 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞ 时， x n x_{n} xn​ 趋近于多少。可见这是一个极限问题，用数学式来表示：

lim ⁡ n → ∞ x n = ? \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=? limn→∞​xn​=?

上式的结果，有些是可预测的（可计算出结果），有些是不可预测的（结果不确定），如下：

例如： （1） ( − 1 ) n ： − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 … … { (-1)^{n} }： -1,1,-1,1,-1,1…… (−1)n：−1,1,−1,1,−1,1……

（2） l n ( n ) : l n 1 , l n 2 , l n 3 ， … … { { ln(n) } } : ln1,ln2,ln3，…… ln(n):ln1,ln2,ln3，……

（3） 1 2 n ： 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 1 16 … … {\frac{1}{2^{n}} } ： \frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{8}，\frac{1}{16}…… 2n1​：21​，41​，81​，161​……

数列(1)，在-1和1间摇摆不定，"第无穷项"鬼知道是1还是-1，因此极限不存在；

数列(2)，随n增大， x n x_{n} xn​ 也无限制地增大，增大到无穷时，无法用一个具体的数来表示，其极限也不存在。对于数列(1)和(2)，我们称其为发散数列，或称这个数列是发散的。

数列(3)，随n增大，每一项的分母都会无限制的增大，进而每一项会越来越小，最终 n → ∞ , x n → 0 ( 1 ∞ ) n\rightarrow \infty ,x_{n}\rightarrow0(\frac{1}{\infty}) n→∞,xn​→0(∞1​) ，所以此时我们可以预测在“第无穷项”处，数列的值趋近于0，这个时候我们也称数列（3）收敛。

所以可知，当 lim ⁡ n → ∞ x n = A \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=A limn→∞​xn​=A 的时候，数列的“第无穷项”我们是可以预测出来的，此时这个数列 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn​} 也是收敛的。最终得到下面的关系：

{ x n } 收敛 ↔ lim ⁡ n → ∞ x n 存在 ↔ lim ⁡ n → ∞ x n = A \left\{ x_{n} \right\}收敛\leftrightarrow\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}存在\leftrightarrow\lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}}=A {xn​}收敛↔limn→∞​xn​存在↔limn→∞​xn​=A

极限趋近的数学表达式： n → ∞ ， x n → A n\rightarrow \infty， x_{n}\rightarrow A n→∞，xn​→A ，用大白话讲就是：当n趋近无穷大时， x n x_{n} xn​ 与A的距离越来越近。而衡量两个数的距离远近，用绝对值来表示，就是 ∣ x n − A ∣ \left| x_{n}-A \right| ∣xn​−A∣ 。所以该语句套上数学的外衣就是 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞， ∣ x n − A ∣ → 0 \left| x_{n}-A \right|\rightarrow0 ∣xn​−A∣→0 ，当然这句话也可以换一种说法，既然 ∣ x n − A ∣ → 0 \left| x_{n}-A \right|\rightarrow0 ∣xn​−A∣→0 那么也就是说 ∣ x n − A ∣ \left| x_{n}-A \right| ∣xn​−A∣ 要多小有多小，即它比所有的正数都小，这就引出了很多教材常见的写法：

设{ x n x_n xn​ }为实数数列，A 为定数，若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有 ∣ x n − A ∣ < ε ∣{ x_n }-A∣