求递推数列通项公式的方法 |
您所在的位置:网站首页 › 数列求通项公式的方法 › 求递推数列通项公式的方法 |
所以数列的通项公式为 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。 例3 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:由 得 则 所以 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。 例4 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:两边除以,得 , 则, 故 因此 , 则 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出+ …+ ,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。 三、利用累乘法求通项公式 例5 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:因为,所以,则, 则 所以数列的通项公式为 评注:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。 例6 已知数列满足 ,则的通项 解:因为① 所以② 所以②式-①式得 则 则 所以 ③ 由,取n=2 得,则,又知,则,代入③得 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为(n ≥2 ),进而求出,从而可得当n ≥2 时的表达式,最后再求出数列的通项公式。 四、利用待定系数法求通项公式 例7 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:设④ 将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则x= -1 ,代入④式, 得⑤ 由≠0 及⑤式,得,则,则数列是以为首项,以2 为公比的等比数列,则,故。 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。 例8 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:设⑥ 将代入⑥式,得 整理得。 令,则,代入⑥式,得 ⑦ 由及⑦式, 得,则, 故数列是以为首项,以3 为公比的等比数列,因此,则。 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。 例9 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:设 ⑧ 将代入⑧式,得 ,则 等式两边消去,得, 则得方程组 ,则,代入⑧式,得 ⑨ 由及⑨式,得 则,故数列为以为首项,以2 为公比的等比数列,因此,则。 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。 五、利用对数变换法求通项公式 例10 已知数列满足,,求数列的通项公式。 解:因为,所以。在式两边取常用对数得⑩ 设①① 将⑩式代入11 式,得,两边消去并整理,得,则 ,故 代入11 式,得 ①② 由及12 式, 得, 则 , 所以数列是以为首项,以5 为公比的等比数列,则,因此,则。 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。 六、利用迭代法求通项公式 例11 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:因为,所以 又,所以数列的通项公式为。 评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式,即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而 七、利用数学归纳法求通项公式 例12 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:由及,得 由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。 (1 )当n=1 时,,所以等式成立。 (2 )假设当n=k 时等式成立,即,则当时, 由此可知,当n=k+1 时等式也成立。 根据(1 )(2 )可知,等式对任何 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、利用换元法求通项公式 例13 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:令,则 故,代入得 即 因为,故 则,即, 可化为, 所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则+3 ,即,得。 评注:本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。 九、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:令,得,则是函数的两个不动点。因为 。,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则 。 评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的两个根,进而可推出,从而可知数列为等比数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。 例15 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:令,得,则x=1 是函数的不动点。 因为,所以 ,所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,则,故。 评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的根,进而可推出,从而可知数列为等差数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。 十、利用特征根法求通项公式 例16 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:的相应特征方程为,解之求特征根是,所以。 由初始值,得方程组 求得 从而。 评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出,从而可得数列的通项公式。返回搜狐,查看更多 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |