【高中数学】数列求前n项和方法详解（错位相减裂项相消）

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【高中数学】数列求前n项和方法详解（错位相减裂项相消）

2024-02-16 02:55| 来源: 网络整理| 查看: 265

https://zhuanlan.zhihu.com/p/594042268公式法等差数列

$S_n=\displaystyle{\frac{n(a_1+a_n)}{2}}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}\ d$

等比数列

$\displaystyle{\begin{equation} S_n= \begin{cases} na_1& \text{ $ q=1 $ } \\ \\ \displaystyle\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}& \text{ $ q\neq 1 $ } \end{cases} \end{equation} }$

错位相减法常规方法

对于形如 $a_n=(an+b)\cdot\ q^{n-1}$ ，即「等差数列×等比数列」的数列，我们可以通过错位相减法求前项的和。

例如数列 $a_n=(2n-1)\cdot \ 3^{n-1}$

$S_n=1\cdot 3^0+3\cdot 3^1+5\cdot 3^2+\ ...\ +(2n-2)\cdot3^{n-2}+(2n-1)\cdot 3^{n-1}$ （I式）

乘以公比，得，

$3S_n=1\cdot 3^1+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\ ...\ +(2n-2)\cdot 3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^{n}$ （II式）

可以注意到，II式中的第项与I式中的第项次数对应相等，II式中的第项与I式中的第项次数对应相等……，II式中的第 n-1 项与I式中的第项次数对应相等。接下来错位相减，即将II式的项分别于I式中与之对应的项相减，再求和，可得 $(-2)\cdot(3^1+3^2+\ ...\ +3^{n-1})$

I式中剩下第项，II式中剩下第项 $(2n-1)\cdot 3^{n}$ 未有对应。

II式-I式，得，

$2S_n=(-1)\cdot\ +(-2)(3^1+3^2+\ ...\ +3^{n-1})+(2n-1)\cdot3^{n}$

利用等比数列求和公式，化简，得，

$S_n=(n-1)\cdot 3^n+1$

快速公式

一般的，对于任意 $a_n=(an+b)\cdot q^{n-1}$ ，参照上述计算方法，可得前 项和公式如下，

$S_n=(An+B)\cdot q^n-B$

其中

$A=\displaystyle\frac{a}{q-1}$ , $B=\displaystyle\frac{b-A}{q-1}$

此公式可以简便运算，需要注意的是，此公式仅满足 $a_n=(an+b)\cdot q^{n-1}$ 结构的数列。

当的次数不为 n-1 时，需要变化调整。

具体方法是： $a_n=(an+b)\cdot q^{n}$ ，应将其变化为 $a_n=(qa\cdot n+q\cdot b)\cdot q^{n-1}$ ，方能继续使用上述公式。

裂项相消法

对于数列 { ${a_n}$ } ，形如 $\displaystyle\frac{m}{a_n a_{n+k}}$ 的分式，可使用裂项相消法求前项和。裂项是通分的「逆运算」

裂项的基本模型： $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

接下来是「相消」，方法是，列出前项，然后消去和为的项即可，消去后首尾剩下的几项，就是该数列的前项和公式了。一般的，剩下的项数为偶数，且正负项数量相等。

对于「相消」的过程，仅以上述的「基本模型」为例，不过多赘述了，

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ ...\ +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

显然， $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

常见的裂项公式还有：

模型①

$\displaystyle \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

直接裂项，得到 $\displaystyle \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$ ，我们将其通分，发现其为 $\displaystyle \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$

所以， $\displaystyle \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$

模型②

$\displaystyle \frac{1}{(n-1)(2n+1)}$

直接裂项，得到 $\displaystyle \frac{1}{n-1}-\frac{1}{2n+1}$ ，将其通分，发现其为 $\displaystyle \frac{n+2}{(n-1)(2n+1)}$

此时，像①那般直接乘以一个数并不管用。我们需要将原式分子分母同乘，得到 $\displaystyle \frac{2}{(2n-2)(2n+1)}$ ，这样使得的系数相等，从而能正确裂项。

仿照①即可裂项，不再赘述。

模型③

对于 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+k}}$ ，直接分母有理化，可得 $\displaystyle \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+k}}{k}$

模型④

$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ ，裂项得 $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}-\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ ，通分后分子为，即

$原式=\displaystyle\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n(n+1)}-\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$

模型⑤

$\displaystyle \frac{n+2}{n(n+1)\cdot 2^{n+1}}$ ，这类较难，可以看做把原分式的分子分母同乘 2^n ，使其满足分母为数列中两项的乘积，即 $\left[ n\cdot2^{n} \right]\cdot\left[ (n+1)\cdot 2^{n+1} \right]$ ，再裂项。裂项的结果是 $\displaystyle \frac{1}{n\cdot2^n}-\frac{1}{(n+1)\cdot2^{n+1}}$

(更新中)

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