数列极限的几种求法

一、定义法:

数列极限的定义如下:设{}是一个数列,若存在确定的数a,对>0 N>0使当n>N时,都有

例1、 用-N方法求

解：令 =t+1 则 t>0

n+1=

>0 取 则当时，有

=1

二、单调有界法：

首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：

在实数系中，有界的单调数列必有极限。

证明：不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理，数列{}有上界，记为{}。以下证明a就是{}的极限。事实上，>0，按上确界的定义，存在数列{}中某一项，使得 又由{}的递增性，当时有

，

这就证得 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。

例2、证明数列

收敛，并求其极限。

证：，易见数列{}是递增的。现用数学归纳法来证明{}有上界。

显然 。假设,则有，从而对一切n 有,即{}有上界。

由单调有界定理，数列{}有极限，记为a 。由于

，

对上式两边取极限得 ，即有

（a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2

由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有

三、运用两边夹法：

迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{}，都以a为极限，数列满足：存在正数当时有 （1） 则数列收敛且

证： 由 分别存在正数与使得

当时有 （2）

当时有 （3）

取 则当时不等式（1），（2），（3）同时成立即有

从而有

即证所得结果。

例3、求

解： （1）

=1

由（1）式及两边夹法则 =1 。

四、先求和再求极限：

例4、求极限

解:

五、先用放缩法再求极限：

例5、求极限

解：记

则

又

由两边夹法则 =

六、用施笃兹公式：

首先我们介绍并证明施笃兹公式：

施笃兹公式（st

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