収束する数列は有界であることを証明します。数列の極限を厳密に定義する \varepsilon \text{-} N 論法の演習の一つとしても最適なので，しっかり確認しましょう。

定理（収束する数列は有界）

\{a_n\} を収束する数列とする。このとき，この数列は有界である。

証明する前に「収束する」の定義，「有界である」の定義を復習しておきます。

定義（数列の収束）

\{a_n\} を数列とする。 \{a_n\} が \alpha に収束する (converge) とは，

任意の \varepsilon > 0 に対して，ある N \ge 1 が存在して，

となることである。

イプシロンエヌ論法ですね。これについては，以下の記事で長文にわたって詳しく解説しています。

定義（数列の有界性）

\{a_n\} を数列とする。 \{a_n\} が有界である (bounded) とは，

ある K > 0 が存在して，

となることである。

各 n \ge 1 によらずに，大きさが定数 K で抑えられるということですね。これについては，以下でも解説しています。

さて，定理を証明していきましょう。

証明

\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha とする。 \varepsilon > 0 を一つ定めると，収束の定義から，ある N \ge 1 が存在して，

となる。ここで，

と定めると，

であり，有界である。

証明終

証明は短いかもしれません。図で表現すると，以下のような理屈です。

この定理は周知の事実ですから，しっかりと覚えておきましょう。

ここまで，「収束 \implies 有界」を証明しましたが， 一般に逆，すなわち「有界 \implies 収束」は成立しません。

ですが，部分列であれば， 収束するものが存在することが知られています。これを，ボルツァノ－ワイエルシュトラスの定理 (Bolzano－ Weierstrass Theorem) と言います。これの証明は，以下の記事で解説しています。