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4.3.2 等比数列的前n项和公式（一）教材分析等比数列的前项和公式从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第四章“数列”第三节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面与后面的数列求和尤其是错位相减法求和综合做铺垫。就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.（二）教学目标1.通过具体问题情境,经历等比数列的前n项和公式的探究和推导过程，能说出“错位相减法”的特点、适用条件以及操作步骤，说明等比数列的前n项和公式的结构特征，解释等比数列通项公式与前n项和公式的关系，并能联用两个公式解决“知三求二”的问题，能说出等比数列前n项和公式与指数函数之间的共性与差异，发展数学运算和逻辑推理素养.2.通过等比数列前n项和公式的推导过程，能解释等比数列的定义在推导前n项和公式中的作用，体会公式推导过程中蕴含的特殊与一般、转化与化归、分类与整合等数学思想，发展数学运算和逻辑推理素养.3.培养学生进一步解方程的能力，以及整体代换思想的应用能力，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.（三）教学重点及难点1. 重点：探索并掌握等比数列的前n项和公式突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→ 错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.（四）教学过程设计问题1：国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求。国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40g据查，2016~ 2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.师生活动：学生自主阅读独立思考，教师提问.教师追问1：上述问题可以转化为一个什么数学问题 你将如何解决这个问题 教师引导学生从实际背景中抽象出等比数列模型，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.由于项数较多，直接计算繁琐不易操作，适时引起学生的认知冲突，引人本课时重点探究内容.设计意图：通过将实际问题抽象成数学问题，激起学生的认知冲突，引入本课时的学习内容，为学生后续探究公式作准备.问题2：一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢 师生活动：教师启发学生思考，看能否利用已有的经验和方法，比如等差数列前n项和公式推导所用的“倒序相加法”去推导.碰到困难后，师生一起分析原因，引导学生从等比数列的概念去展开思考.教师追问1：前n项和公式是用“有限”项数的式子表示的，根据前n项和定义，该如何消除带“…”的部分，用基本量和表示通项呢 教师启发学生通过对等比数列前n项和公式的观察和分析开展探究，学生小组合作交流，充分思考后展示小组研究成果.对“消项”方法的探究要让学生充分思考，不断尝试，尤其是要充分利用等比数列的定义，从如何用基本量和表示通项，展开思考.教师不应该过多强调“错位相减法”，避免学生先人为主，预设限制思维空间教学中可能会出现如下几种推导思路:思路一(错位相减法):，两边同乘公比得，往后错一位相减得，此处根据展示情况适时引导学生进行分类讨论当q≠1时，当q=1时，思路二: ，再结合得故，注意验证n=1时等式是否成立.思路三:根据等比数列的定义(n≥2)，（视学生情况介绍，需要利用等比定理）再利用合比定理可以得到可得，从而求出(q≠±1)，注意验证n=1时等式是否成立.教师追问2：我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联 学生思考后小组交流，由小组代表展示结论.当q=1时，是关于n的一次函数；当q≠1时，是一个特殊的指数型函数.设计意图：等比数列前n项和公式的推导是本节课的重难点，而如何避免“强行”得到错位相减法是教学中需要认真思考的问题。要引导学生从两个方面展开思考:一是推导公式要从“无限”项到“有限”项。消项的思想必须贯穿在探究中;二是当“倒序相加法”等已知方法无法迁移使用时，要抓住等比数列的定义和前n项和公式的特点进行探究。本设计意在让学生通过经历整个推导过程，充分感悟由“多”到“少”由“无限”到“有限”的数学思想，进一步体会数学的简洁和严谨.问题3：你觉得本节课开头故事里的国王能够兑现承诺吗 师生活动：学生根据公式计算出数值后得出结论，教师适时评价.由,可得,这个数字超过，麦粒的总质量超过7000亿吨，约是2016~2017年度世界小麦产量的981倍，国王显然不可能实现他的诺言.赏赐就是一个笑话.设计意图：利用推导出来的公式解决开头的问题，符合学生认知规律.让学生感受到指数爆炸式增长的“威力”，体验数学问题4：你能运用本节课所学知识解决等比数列相关问题吗？师生活动：学生先自主练，然后教师点拨，师生共研.教材例题：已知数列是等比数列．（1）若，，求；（2）若，，，求；（3）若，，，求n．例:2：已知等比数列的首项为，前n项和为．若，求公比q．解析：若,则，所以当时，由得，所以例:3：已知等比数列的公比，前n项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比．例4:　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn设计意图：例题1主要是通过等比数列通项公式和前n项和公式的联用帮助学生巩固公式，掌握基本量的确定方法，强化方程的思想，提升学生的数学运算素养；例2的解答中涉及对公比q取值的讨论，学生容易忽视q=1的情形。此环节设置例题和变式主要是通过题目的对比，引导学生注意对q的取值情况进行分类讨论；例3条件中出现了等比数列的前n项和，所以例3与例2的解决过程类似，教材中对公比q的取值进行分类讨论，再利用等比数列的前n项和公式加以证明，这种方法体现了计算在证明中的作用，帮助学生更准确地分析题意，进一步养成严谨的思维习惯，发展逻辑推理素养.（五）课堂达标检测当堂检测1．已知数列是等比数列．（1）若，，，求；（2）若，，，求；（3）若，，求q与；（4）若，，求与q．2．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？课后作业1．设等比数列的前n项和为 .已知求和 .2．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比．设计意图：检测和巩固等比数列等比数列的前项和公式.【课后思考】回顾等比数列的前n 项和的方法：错位相减法抛出问题：那么类似下面的数列，能否用错位相减法求和呢？求和这也将是我们下节课需要探讨的。板书设计教学反思受新教材新高考的影响，考虑到学生的心理特点以及高二年级学生的认知水平，让学生初步了解“数学来源于生活”，采用数学故事的形式创设问题情境，旨在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的求知欲。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究，展示学生解决问题的方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。“等比数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍同乘公比，错位相减法，探究这种方法如何推广到一般等比数列的求和．数学公式只是一些符号，学生记忆容易，但用起来困难，因此，公式的记忆需要借助于对知识点的理解。在课堂实施过程中，教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，并能对问题的解法提出自己的不同观点，找出最简单、有效的解决方法。因此，对等比数列前n项和公式的推导有一个科学的分析过程，学生对公式的获取思路明确，理解比较深刻，较好地完成了课前预设的目标。但由于教学内容的紧凑，过于追求教学的量，在教学、训练中侧重于方法的指导而忽略了过程的详细讲解，对学生的计算能力、变形能力会产生不利影响，这一点，在第二天的作业中就体现出来。另外，过多的罗列解题方法，提高了学生的解题能力，但学生课后没有自己的思维空间，对学生创新思维的培养就显得的不足。

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