写这篇博客，已经是第三次了，花了一个周，一遍遍修改，只为了理解好姿态解算并表述出来。

之前写过一篇姿态解算的博客，UAV021（四）：飞控传感器数据融合与姿态估计，在小角度假设条件（俯仰角、滚转角都很小）下做了近似，并且使用欧拉角的方式来实现姿态解算，模型是很简单的。这一次想去除此假设，并且添加四元数来解算姿态，问题一下子变得复杂起来。

机体坐标系（机体系）以机头方向为 x 轴，机体水平向右为 y 轴，垂直机体向下为 z 轴，即前右下，符合右手定则。

地球坐标系（地球系） x 轴方向朝北，y 轴方向朝东，z 轴方向朝地，也即北东地（NED），同样符合右手定则。

机体系 x、y 轴在水平面的投影为航向坐标系（航向系）的 x、y轴，竖直向下为 z 轴。

可见，航向系可由地球系绕 z 轴旋转一定角度得到。很多地方都没有航向系这个概念，但是匿名使用了，经过反复思考之后，添加这个坐标系是很利于后面姿态解算的，故说明。

姿态解算就是通过融合传感器数据解算出姿态角。姿态角是俯仰角（pitch）、滚转角（roll）和偏航角（yaw）的合称，此文分别使用 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α,β,γ 表示。

俯仰角 俯仰角是无人机机体系 x 轴与水平面夹角，也即机体系与航向系 x 轴的夹角，机头上仰为正，范围 α ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] \alpha \in [-\pi/2, \pi/2] α∈[−π/2,π/2]。

滚转角 滚转角是无人机机体系 y 轴与水平面夹角，也即机体系与航向系 y 轴的夹角，机身左升右降为正，范围 β ∈ [ − π , π ] \beta \in [-\pi, \pi] β∈[−π,π]。

偏航角 偏航角是无人机机体系 x 轴在水平面投影与地球系 x 轴（正北方）的夹角，也即航向系 x 轴与地球系 x 轴夹角。俯视机身，顺时针方向（往东）角度递增，逆时针方向角度递减，范围 γ ∈ [ − π , π ] \gamma \in [-\pi, \pi] γ∈[−π,π]。

可见，引入航向系之后可以更加方便地定义姿态角。注意与下面的欧拉角作对比，欧拉角和姿态角不是同样概念，这也是这里使用 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α,β,γ 而不是更常见的 θ , ϕ , ψ \theta, \phi, \psi θ,ϕ,ψ 的原因，后者用于表示欧拉角。

姿态解算是指使用传感器数据解算出姿态角，数据融合更强调各传感器之间数据的取长补短。在无人机中，传感器常用九轴传感器（三轴加速度、三轴陀螺仪、三轴磁力计）。加速度计与陀螺仪融合得到俯仰、滚转角，磁力计与陀螺仪融合得到偏航角。解算有姿态角，常用欧拉角、四元数与旋转矩阵三种方式；融合常用互补滤波与卡尔曼滤波。

比如使用欧拉角姿态解算互补滤波数据融合。如下图所示，其中公式1，公式2，角速度积分等都使用了欧拉角，将传感器数据不断变换到姿态角，最后一个互补滤波融合数据。当然，并不一定都是解算后融合，很多时候两者是交叉的，例如四元数姿态解算互补滤波数据融合的时候。 上图在后面会有具体说明，现在不怎么理解也没关系。

无人机中，常提到三种姿态解算的方式：欧拉角、四元素和旋转矩阵。欧拉角最为直观简单，但是有死锁问题；四元数添加一个元素，将三维计算映射到四维又返回三维，比较抽象不易理解，但避免了死锁问题；旋转矩阵有九个元素，求解相对复杂，几乎都不被采用。

在实际运用中，如果无人机没有大机动（俯仰、滚转角小于60°就不算大机动），用欧拉角已经绰绰有余，所以欧拉角还是很实用的。但是想做个空翻的四轴，欧拉角就会有问题了（至少理论上有），需采用四元数。至于旋转矩阵，理论上会说明其概念及其重要性，但不会有最终的测试。

首先来看一个三者之间的关系图，有了整体概念之后再分别研究，不要在学习推导的过程中迷失方向。三者之间是可以相互转换的，后面的内容将一一说明。

欧拉角描述了两个坐标系之间的转换关系，以机体系和地球系说明问题。机体系是运动的，地球系是固定的。假设初始时两坐标系重合，欧拉角分别是连续绕坐标轴三次旋转的三个角度。但是需要明确三个问题：

只有这三个问题都说清楚了，我们才能够确定机体系相对于地球系的状态。

对于问题一：可以绕机体系的坐标轴，称为内旋；也可以绕地球系的坐标轴，称为外旋。内外容易理解记住，对于无人机而言，自己的轴肯定是内部的，地球系的轴是外部的，内外容易区分。此文采用内旋定义欧拉角。值得注意的是，无论是使用内旋还是外旋定义欧拉角，姿态角和欧拉角都不是完全一致的，不要把姿态角与欧拉角混为一谈。

对于问题二：无人机中最常用的是 z-y-x 的顺序。据说是因为此种顺序万向节死锁的位置比较好（无人机很少会到达此角度），此文采用。

对于问题三：遵循习惯，绕 x 轴旋转角用 ϕ \phi ϕ 表示，绕 y 轴旋转角用 θ \theta θ 表示，绕 z 轴旋转角用 ψ \psi ψ 表示。绕坐标轴逆时针旋转为正，顺时针为负。注意判断顺逆时针时，把坐标系的箭头对准自己（比如 z 轴应该从下往上看），再来判断是顺时针还是逆时针。

综上，初始时机体系与地球系重合，无人机先绕机体系 z 轴旋转 ψ \psi ψ，再绕机体系 y 轴旋转 θ \theta θ，最后绕机体系 x 轴旋转 ϕ \phi ϕ，无人机就有一个确定的姿态，我们把 [ θ , ϕ , ψ ] [\theta, \phi, \psi] [θ,ϕ,ψ] 合称为欧拉角。

无论是使用欧拉角，还是四元数、旋转矩阵，目标都是解算姿态角，因此，需要把姿态角与这些方式联系起来。欧拉角是绕机体系旋转轴旋转的角度，姿态角是机体系坐标轴与水平面的夹角（俯仰、滚转角）和与正北方的夹角（偏航角），两者存在什么关系呢？

不要感觉很复杂，先来简单想象一下：

为了解决上面的问题，我们不得不先学点东西。不过不要害怕，理论也挺有意思的。

上面需要求解姿态与欧拉角的关系，欧拉角也即机体转动角度。这需要对立体几何进行分析，过程略显复杂，没有推导出来。但是姿态变化率与机体角速度（欧拉角变化率）之间却有一个现成的公式——欧拉运动学方程：

从姿态变化率到机体角速度的关系：

[ ω x ω y ω z ] = [ 1 0 − sin ⁡ α 0 cos ⁡ β cos ⁡ α sin ⁡ β 0 − sin ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β ] [ α ′ β ′ γ ′ ] (2.1) \left[ \begin{array}{c} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end {array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \alpha \cos \beta \end {array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha' \\ \beta' \\ \gamma' \end {array} \right] \tag{2.1} ⎣⎡​ωx​ωy​ωz​​⎦⎤​=⎣⎡​100​0cosβ−sinβ​−sinαcosαsinβcosαcosβ​⎦⎤​⎣⎡​α′β′γ′​⎦⎤​(2.1)

其中， α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α,β,γ 分别为俯仰角、滚转角和偏航角。

反过来，从机体角速度到姿态变化率的转换为式(2.1) 中矩阵的逆：

[ α ′ β ′ γ ′ ] = [ 1 tan ⁡ α sin ⁡ β tan ⁡ α cos ⁡ β 0 cos ⁡ β − sin ⁡ β 0 sin ⁡ β / cos ⁡ α cos ⁡ β / cos ⁡ α ] [ ω x ω y ω z ] (2.2) \left[ \begin{array}{c} \alpha' \\ \beta' \\ \gamma' \end {array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} 1 & \tan \alpha \sin \beta & \tan \alpha \cos \beta \\ 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\ 0 & \sin \beta / \cos \alpha & \cos \beta / \cos \alpha \end {array} \right] \left[ \begin{array}{c} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end {array} \right] \tag{2.2} ⎣⎡​α′β′γ′​⎦⎤​=⎣⎡​100​tanαsinβcosβsinβ/cosα​tanαcosβ−sinβcosβ/cosα​⎦⎤​⎣⎡​ωx​ωy​ωz​​⎦⎤​(2.2)

可见， ω x , ω y , ω z \omega_x, \omega_y, \omega_z ωx​,ωy​,ωz​ 已知时，实际中可以使用陀螺仪测量。上式为关于 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α,β,γ 的微分方程组，三个独立方程三个未知数，方程可解。当然，工程中不去实际去解方程，更多的是使用数值计算方法。

为了求解之前的问题，我们模拟一下陀螺仪，把每次角度变化分为1000小份，并假设加机体角速度是均匀变化的。

那么，首先绕 z 轴逆时针旋转90°，假设 1s 完成，角速度为 90°/s，分成1000小份累加；再绕 y 轴逆时针旋转 60°与绕 x 轴逆时针旋转 45°，也分别使用 1s 完成，也都分为1000小份累加。

先说明一下，在下面所有的描述中，涉及的坐标系的原点是重合的（即使不画在一起），因为我们研究的是转动关系，不是空间位置关系。坐标系的各个轴都是正交的，没有斜坐标系，默认此条件。

首先看二维平面内的旋转。坐标系 x O y xOy xOy 绕原点逆时针旋转 ψ \psi ψ得到 x ′ O y ′ x'Oy' x′Oy′，点A在两坐标系下坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1​,y1​) 和 ( x 2 , y 2 ) (x_2, y_2) (x2​,y2​)，则

[ x 2 y 2 ] = [ cos ⁡ ψ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ ] [ x 1 y 1 ] (2.1) \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end {array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} \cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi \end {array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end {array} \right] \tag{2.1} [x2​y2​​]=[cosψ−sinψ​sinψcosψ​][x1​y1​​](2.1)

证明如下：

设A点与原点距离为 d d d，则： x 2 = d cos ⁡ ( α − ψ ) = d ( cos ⁡ α cos ⁡ ψ + sin ⁡ α sin ⁡ ψ ) = ( d cos ⁡ α ) cos ⁡ ψ + ( d sin ⁡ α ) sin ⁡ ψ = x 1 cos ⁡ ψ + y 1 sin ⁡ ψ \begin{aligned} x_2 &= d \cos(\alpha - \psi) \\ &=d(\cos \alpha \cos \psi + \sin \alpha \sin \psi) \\ &=(d \cos \alpha) \cos \psi + (d\sin \alpha) \sin \psi \\ &=x_1 \cos \psi + y_1 \sin \psi \\ \end {aligned} x2​​=dcos(α−ψ)=d(cosαcosψ+sinαsinψ)=(dcosα)cosψ+(dsinα)sinψ=x1​cosψ+y1​sinψ​

y 2 = d sin ⁡ ( α − ψ ) = d ( sin ⁡ α cos ⁡ ψ − cos ⁡ α sin ⁡ ψ ) = ( d sin ⁡ α ) cos ⁡ ψ − ( d cos ⁡ α ) sin ⁡ ψ = y 1 cos ⁡ ψ − x 1 sin ⁡ ψ \begin{aligned} y_2 &= d \sin(\alpha - \psi) \\ &=d(\sin \alpha \cos \psi - \cos \alpha \sin \psi) \\ &=(d \sin \alpha) \cos \psi - (d\cos \alpha) \sin \psi \\ &=y_1 \cos \psi - x_1 \sin \psi \\ \end {aligned} y2​​=dsin(α−ψ)=d(sinαcosψ−cosαsinψ)=(dsinα)cosψ−(dcosα)sinψ=y1​cosψ−x1​sinψ​ — 证毕 —

对于上述旋转矩阵，从两个方向推广。一是朝三维方向推广，上图中，可看作 O x y z Oxyz Oxyz 坐标系绕 z 轴逆时针旋转 ψ \psi ψ得到 O x ′ y ′ z ′ Ox'y'z' Ox′y′z′ 坐标系，点 A 在两个坐标系下的坐标分别为 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1, y_1, z_1) (x1​,y1​,z1​)， ( x 2 , y 2 , z 2 ) (x_2, y_2, z_2) (x2​,y2​,z2​)。由于是绕 z 轴旋转，z 坐标是不变的，且z坐标不会影响 x、y轴上的变化，即 z 2 = 0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ y 1 + 1 ⋅ z 1 z_2 = 0\cdot x_1 + 0\cdot y_1 + 1\cdot z_1 z2​=0⋅x1​+0⋅y1​+1⋅z1​，结合式（2.1），易得： [ x 2 y 2 z 2 ] = [ cos ⁡ ψ sin ⁡ ψ 0 − sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1 ] [ x 1 y 1 z 1 ] (2.2) \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end {array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} \cos \psi & \sin \psi & 0 \\ -\sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end {array} \right] \tag{2.2} ⎣⎡​x2​y2​z2​​⎦⎤​=⎣⎡​cosψ−sinψ0​sinψcosψ0​001​⎦⎤​⎣⎡​x1​y1​z1​​⎦⎤​(2.2) 中间的矩阵便叫作旋转矩阵，此处用 R z R_z Rz​ 表示，代表绕 z 轴转动的情况：

R z = [ cos ⁡ ψ sin ⁡ ψ 0 − sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1 ] (2.3) R_z = \left[ \begin{array}{cc} \cos \psi & \sin \psi & 0 \\ -\sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right] \tag{2.3} Rz​=⎣⎡​cosψ−sinψ0​sinψcosψ0​001​⎦⎤​(2.3)

同理，如果是绕 y 轴旋转 θ \theta θ，那么在二维旋转矩阵的基础上变换，由于y 轴坐标在两个坐标系中大小不变，旋转矩阵第二行为 [ 0 1 0 ] [0\quad1\quad0] [010]，容易直接写出：

R y = [ cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 1 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] (2.4) R_y = \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end {array} \right] \tag{2.4} Ry​=⎣⎡​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​⎦⎤​(2.4)

绕 x 轴旋转 ϕ \phi ϕ 时，x 方向坐标在两个坐标系下相等，第一行为 [ 1 0 0 ] [1\quad0\quad0] [100]，整个旋转矩阵为： R x = [ 1 0 0 0 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 0 − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ] (2.5) R_x = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & \sin \phi \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi \end {array} \right] \tag{2.5} Rx​=⎣⎡​100​0cosϕ−sinϕ​0sinϕcosϕ​⎦⎤​(2.5)

另一个推广时连续旋转，如果坐标系 x ′ ′ O y ′ ′ x''Oy'' x′′Oy′′ 又是坐标系 x ′ O y ′ x'Oy' x′Oy′ 逆时针旋转 ψ 2 \psi_2 ψ2​，点A 在 x ′ ′ O y ′ ′ x''Oy'' x′′Oy′′ 下的坐标为 ( x 3 , y 3 ) (x_3, y_3) (x3​,y3​)，那么易得：

[ x 3 y 3 ] = [ cos ⁡ ψ 2 sin ⁡ ψ 2 − sin ⁡ ψ 2 cos ⁡ ψ 2 ] [ x 2 y 2 ] \left[ \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end {array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} \cos \psi_2 & \sin \psi_2 \\ -\sin \psi_2 & \cos \psi_2 \end {array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end {array} \right] [x3​y3​​]=[cosψ2​−sinψ2​​sinψ2​cosψ2​​][x2​y2​​]

也即： [ x 3 y 3 ] = [ cos ⁡ ψ 2 sin ⁡ ψ 2 − sin ⁡ ψ 2 cos ⁡ ψ 2 ] [ cos ⁡ ψ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ ] [ x 1 y 1 ] \left[ \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end {array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} \cos \psi_2 & \sin \psi_2 \\ -\sin \psi_2 & \cos \psi_2 \end {array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi \end {array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end {array} \right] [x3​y3​​]=[cosψ2​−sinψ2​​sinψ2​cosψ2​​][cosψ−sinψ​sinψcosψ​][x1​y1​​]

根据矩阵运算的结合律，完全可以先计算左边两个旋转矩阵的连乘，得到一个新的旋转矩阵。这说明，连续旋转等效于旋转矩阵的连乘。这个结论完全可以推广到三维，依旧使用矩阵运算的结合律容易证明。所以，如果分别绕 z-y-x 旋转一次，那么可以直接使用这三个旋转矩阵的乘积（一个旋转矩阵）来代替。

R = R z R y R x R=R_zR_yR_x R=Rz​Ry​Rx​

将式（2.3）~（2.5）代入，并用 R b e R_b^e Rbe​ 表示最终的旋转矩阵可得：

R e b = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ cos ⁡ ψ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ − sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ + sin ⁡ ψ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ sin ⁡ ψ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ + cos ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ − cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ − sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ] (2.6) R_e^b={ \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta \cos\psi& \cos\psi \sin\theta \sin\phi-\sin\psi \cos \phi & \cos\psi \sin\theta \cos\phi +\sin\psi \sin\phi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\psi \sin\theta \sin\phi+\cos\psi \cos\phi & \sin\psi \sin\theta \cos\phi-\cos\psi \sin\phi \\ -\sin\theta & \sin\phi \cos\theta & \cos\phi \cos\theta \end{array} \right ]} \tag{2.6} Reb​=⎣⎡​cosθcosψcosθsinψ−sinθ​cosψsinθsinϕ−sinψcosϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕsinϕcosθ​cosψsinθcosϕ+sinψsinϕsinψsinθcosϕ−cosψsinϕcosϕcosθ​⎦⎤​(2.6)

这也即是欧拉角-四元数-旋转矩阵关系图里的第一个转换关系。注意这个矩阵是无人机分别绕机体系 z-y-x 坐标轴分别逆时针转动 ψ , ϕ , θ \psi, \phi, \theta ψ,ϕ,θ 得到的。再强调一下，是绕机体系，是 z-y-x 的旋转顺序，是分别逆时针旋转 ψ , ϕ , θ \psi, \phi, \theta ψ,ϕ,θ 角度。

推导完了，回到之前的问题，我们继续解决无人机绕 z-y-x 分别是 [ 90 ° , 60 ° , 45 ° ] [90°, 60°, 45°] [90°,60°,45°] 时的姿态。注意不要先入为主，一下子又联系到熟悉的旋转矩阵 R b e R_b^e Rbe​，那只不过是我们顺便提一下的结论而已，真正的“道”是对上面旋转的深入理解，然后具体问题具体分析。

首先，对于俯仰角与滚转角。从定义上看，俯仰角与滚转角分别是机体系 x、y 轴与航向系 x、y 轴的夹角，也即是旋转航向系使得和机体系重合的欧拉角。

无人机绕 z 轴逆时针旋转 90° 后，机体系与航向系依旧是重合的，绕 z 轴的旋转矩阵为： R z = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] R_z = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right] Rz​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​ 无人机绕 y 轴逆时针旋转 60° 后，可得旋转矩阵：

R y = [ cos ⁡ 60 ° 0 sin ⁡ 60 ° 0 1 0 − sin ⁡ 60 ° 0 cos ⁡ 60 ° ] = [ 1 / 2 0 3 / 2 0 1 0 − 3 / 2 0 1 / 2 ] R_y = \left[ \begin{array}{cc} \cos 60° & 0 & \sin 60° \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin 60° & 0 & \cos 60° \end {array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1/2 & 0 & \sqrt{3}/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sqrt{3}/2 & 0 & 1/2 \end {array} \right] Ry​=⎣⎡​cos60°0−sin60°​010​sin60°0cos60°​⎦⎤​=⎣⎡​1/20−3 ​/2​010​3 ​/201/2​⎦⎤​

最后无人机绕 x 轴逆时针旋转 45°， R x = [ 1 0 0 0 cos ⁡ 45 ° sin ⁡ 45 ° 0 − sin ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° ] = [ 1 0 0 0 2 / 2 2 / 2 0 − 2 / 2 2 / 2 ] R_x = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 45° & \sin 45° \\ 0 & -\sin 45° & \cos 45° \end {array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ 0 & -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end {array} \right] Rx​=⎣⎡​100​0cos45°−sin45°​0sin45°cos45°​⎦⎤​=⎣⎡​100​02 ​/2−2 ​/2​02 ​/22 ​/2​⎦⎤​

整个旋转矩阵最终为：

R = R z R y R x = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ cos ⁡ 60 ° 0 sin ⁡ 60 ° 0 1 0 − sin ⁡ 60 ° 0 cos ⁡ 60 ° ] [ 1 0 0 0 cos ⁡ 45 ° sin ⁡ 45 ° 0 − sin ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° ] = 1 \begin{aligned} R &=R_z R_y R_x \\ &= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \cos 60° & 0 & \sin 60° \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin 60° & 0 & \cos 60° \end {array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 45° & \sin 45° \\ 0 & -\sin 45° & \cos 45° \end {array} \right] &= 1 \end{aligned} R​=Rz​Ry​Rx​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​⎣⎡​cos60°0−sin60°​010​sin60°0cos60°​⎦⎤​⎣⎡​100​0cos45°−sin45°​0sin45°cos45°​⎦⎤​​=1​