矢量场散度(divergence)和旋度(curl)及Helmholtz定理MATLAB计算 |
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旋度 已给向量
F
⃗
=
P
i
⃗
+
Q
j
⃗
+
R
k
⃗
\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k
F
=Pi
+Qj
+Rk
则该向量的旋度表示为
r
o
t
F
⃗
=
(
R
y
−
Q
z
)
i
⃗
+
(
P
z
−
R
x
)
j
⃗
+
(
Q
x
−
P
y
)
k
⃗
{\mathop{\rm rot}\nolimits}~~ \vec F = \left( {{R_y} - {Q_z}} \right)\vec i + \left( {{P_z} - {R_x}} \right)\vec j + \left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\vec k
rot F
=(Ry−Qz)i
+(Pz−Rx)j
+(Qx−Py)k
定义Hamilton算子(表示空间各方向的全微分)
∇
\nabla
∇ 使得
∇
=
∂
∂
x
i
⃗
+
∂
∂
y
j
⃗
+
∂
∂
z
k
⃗
\nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}\,\,\vec i + \frac{\partial }{{\partial y}}\,\,\vec j + \frac{\partial }{{\partial z}}\,\,\vec k
∇=∂x∂i
+∂y∂j
+∂z∂k
使用它时就像在使用一个作用在函数上的函数。
∇
f
=
∂
f
∂
x
i
⃗
+
∂
f
∂
y
j
⃗
+
∂
f
∂
z
k
⃗
\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\,\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\,\,\vec j + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\,\,\vec k
∇f=∂x∂fi
+∂y∂fj
+∂z∂fk
利用▽,可将旋度定义式转化为叉积形式:
c
u
r
l
F
⃗
=
∇
×
F
⃗
=
(
i
⃗
j
⃗
k
⃗
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
P
Q
R
)
{\mathop{\rm curl~~}\nolimits} \vec F = \nabla \times \vec F = \left( {\begin{array}{c}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial x}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial y}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial z}}}\\P&Q&R\end{array}} \right)
curl F
=∇×F
=⎝⎜⎜⎛i
∂x∂Pj
∂y∂Qk
∂z∂R⎠⎟⎟⎞ 矢量场的旋度有以下性质:如果
f
(
x
,
y
,
z
)
f\left( {x,y,z} \right)
f(x,y,z)有连续二阶偏导数,则
r
o
t
(
∇
f
)
=
0
⃗
{\mathop{\rm rot}\nolimits} \left( {\nabla f} \right) = \vec 0
rot(∇f)=0
此性质由连续二阶偏导数与求导顺序无关的性质(fzy=fyz等等)即可得出。 2.如果F是保守场(某标量势的梯度),则
r
o
t
F
⃗
=
0
⃗
{\mathop{\rm rot~}\nolimits} \vec F = \vec 0
rot F
=0
由保守场性质和1立即得此结论。
3.
如
果
F
⃗
定
义
在
R
3
上
具
有
连
续
一
阶
偏
导
数
,
并
且
r
o
t
F
⃗
=
0
⃗
,
则
F
⃗
是
一
个
保
守
场
。
3.~~~如果\vec{F}定义在{\mathbb{R}^3}上具有连续一阶偏导数,并且{\mathop{\rm rot}\nolimits} \vec F = \vec 0 ,则 \vec{F}是一个保守场。
3. 如果F
定义在R3上具有连续一阶偏导数,并且rotF
=0
,则F
是一个保守场。
例
如
,
要
确
定
F
⃗
=
x
2
y
i
⃗
+
x
y
z
j
⃗
−
x
2
y
2
k
⃗
是
否
为
保
守
场
,
只
需
要
计
算
F
⃗
的
旋
度
判
断
是
否
为
0
即
可
。
例如,要确定\vec F = {x^2}y\,\vec i + xyz\,\vec j - {x^2}{y^2}\,\vec k 是否为保守场,只需要计算\vec F的旋度判断是否为0即可。
例如,要确定F
=x2yi
+xyzj
−x2y2k
是否为保守场,只需要计算F
的旋度判断是否为0即可。
c
u
r
l
F
⃗
=
∣
i
⃗
j
⃗
k
⃗
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
x
2
y
x
y
z
−
x
2
y
2
∣
=
−
2
x
2
y
i
⃗
+
y
z
k
⃗
−
(
−
2
x
y
2
j
⃗
)
−
x
y
i
⃗
−
x
2
k
⃗
=
−
(
2
x
2
y
+
x
y
)
i
⃗
+
2
x
y
2
j
⃗
+
(
y
z
−
x
2
)
k
⃗
≠
0
⃗
于
是
得
出
不
是
保
守
的
。
{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \left| {\begin{array}{c}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial x}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial y}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial z}}}\\{{x^2}y}&{xyz}&{ - {x^2}{y^2}}\end{array}} \right|\\ = - 2{x^2}y\,\vec i + yz\,\vec k - \left( { - 2x{y^2}\,\vec j} \right) - xy\,\vec i - {x^2}\vec k\\ = - \left( {2{x^2}y + xy} \right)\vec i + 2x{y^2}\,\vec j + \left( {yz - {x^2}} \right)\vec k \ne \vec 0 \\于是得出不是保守的。
curlF
=∣∣∣∣∣∣∣∣i
∂x∂x2yj
∂y∂xyzk
∂z∂−x2y2∣∣∣∣∣∣∣∣=−2x2yi
+yzk
−(−2xy2j
)−xyi
−x2k
=−(2x2y+xy)i
+2xy2j
+(yz−x2)k
=0
于是得出不是保守的。旋度的推导 利用F二阶的可微性质,通过选取平行面积微元,每步只计算三维空间的一个维度的旋度来实现的,从《电磁场与电磁波》 (谢处方等著,高等教育出版社)摘录如下:(关键在理解利用二阶可微性质将两条非临边对旋度的贡献用二阶微分表示和约去的过程,还有叉乘展开的过程。书上思路比较清晰,不需赘述。) 这个矢量场是 F = y z c o s ( x y z ) e ⃗ x + x z s i n ( 4 x + y + 5 z 2 ) e y ⃗ + ( x y z + 1 ) e ⃗ z \textbf F=yzcos(xyz){\vec \textbf e_{x}}+xzsin(4x+y+5z^2)\vec {\textbf e_{y}}+(xyz+1)\vec \textbf {e}_{z} F=yzcos(xyz)e x+xzsin(4x+y+5z2)ey +(xyz+1)e z利用tangent命令,在球面上作出场的形状,如图。 f = tangent( f ); quiver3( f ), view([-36 8])
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