高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力 |
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§6.5 功、水压力和引力 一、变力沿直线所作的功 【例1】半径为 解:建立如图所示的坐标系 将高为 其中: 由球缺公式 从而 十分明显, 取 这就是功元素,并且功为
另解 建立如图所示的坐标系 取 在 由于球的比重为 1 , 故此薄片质量约为 将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功,而将此薄片取出水面需移动距离为 故功元素为 二、水压力 在水深为 如果有一面积为 若平板非水平地放置在水中,那么由于水深不同之处的压强不相等。此时,平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。
【例2】边长为 解:由于薄板与水面成 取 在 它所承受的水压力约为 于是,压力元素为 这一结果的实际意义十分明显
而 三、引力 由物理学知道:质量为
如果要计算一根细棒对一个质点的引力,由于细棒上各点与该质点的距离是变化的,且各点对该质点的引力方向也是变化的,便不能简单地用上述公式来作计算了。
【例3】设有一半径为 解决这类问题,一般来说,应选择一个适当的坐标系。 解:建立如图所示的坐标系,质点 在圆弧细棒上截取一小段,其长度为
而 于是,我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力 故 类似地 因此,引力的大小为
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