谢邀，已经有这么多很好的回答了，默默地表示压力很大……

而且它已经被我压在草稿箱近半年了于是压力就越来越大了……

还是赶在新一年之前给自己一个结束吧。

我想起前一阵子听一个讲座，说facebook创立之初，其实是个评选校花的小网站。

可是后来，它增加了各种各样的功能。

然后变成了现在这样。

你要是现在问，facebook的本质是什么？是校花评选网站吗？

大家会说，不是的。

校花评选网站是它的起点，不是它的本质。

正如“相同加数的加法的简便运算”是乘法的起点一样。

一个事情产生，然后因为某种原因发展

后来我们回顾总结，发现他原来是这样。

这种“原来是这样”的本质，我觉得这里回答的各位都比我理解更深刻。

我个人比较感兴趣的，通常不是“本质”的探讨，而是“为什么这样发展”，“怎么想到这样做的”。

【所以其实我这一整篇都是跑题……但是我理解

先生是想让我贫一下这方面？所以冒昧地跑题一个长篇……

如果看到这个回答的您觉得跑题还是不好，就请帮忙点没有帮助吧，谢谢。】

这个“怎么想到要这样的”，不是那么“本质”，但是它从另一个角度利于引领人前进。

好比说，一个1级的新人在新手村着陆了。

这时候你跟他说，“这个游戏最牛的boss是哥德巴赫，打败他就可以得到最强出装”，他可能听了这话之后无辜地瞪着大眼问你“出装是什么？能吃么？”

以及当他问你“哥德巴赫怎么走”的时候，你大手一挥，“去驿站坐飞机！”，他可能默默地打开钱袋，发现坐飞机需要的那种金币他从来没见过，银币对他已经是巨款了……

这种情况下，我们只好带他腿儿着。一步一步地，走过我们当年走过、我们的前辈当年走过的路。同时告诉他，当初前辈们是怎么发现这条路的，怎么改进这条路的。然后我们期望有一天，他们可以接替我们，将这条路改进到更好。

我大学的老师说，作为老师，仅仅给学生看一座金碧辉煌的大厦是不够的，更重要地是给学生看当初是怎么一点点搭起脚手架，再拆掉。

大概是这个意思吧。

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伪·正题：

数学发展史上，实数乘法是怎么一步步发展过来的

（个人观点，仅供参考。我不记得看过哪些参考书了……也许有小时候我爸睡前故事的功劳？）

1、上帝说，要有光。人类说，要有食物。

于是有了食物。

人不止一个，食物分配不均，于是有了多少。

于是有了自然数。

加减法很快的产生了，因为要计算总和与部分。

2、人们一五一十地数数。

相同加数的反复计算，人们记住了一些结论（比如五五二十五……）

写5+5+5+5+5+5+5既是个体力活，也容易数错，于是乘法这种写起来比较短的玩意儿得到了大家的欢迎。

3、有加就有减，于是有乘就有除。正如同有生就有死，有女就有男。

4、4÷2还好办，1÷2我们可以细化单位（小数）。但是1÷3，我该拿你如何是好？

最后人类终于认输，索性就说这是个数，什么数呢？1/3,1÷3的那个数嘛。

类似的事情人类后来做过许多次，比如√2，比如π，甚至2^10000、123!

虽然用以前的方法无法表示，反正用这个方式得到的结果就是它了。

这个点上是个坎儿，很多孩子迟早都会遇上。会有一批四五年级的孩子纠结，1/3能不能作为最终答案，也会有六年级孩子纠结2π怎么能作为答案呢，一定要写成6.28嘛。

我自己当年是在√2这里纠结，很认真地跟我爸吼过“这题有问题，答案得√17/3然后我不会算了”然后被我爸一副苦笑不得的表情强调“这就是个数啊怎么不能答案是它了”

（说实话，数域拓展这个坎儿过了，e^π什么的就不太容易纠结了……他就是个表示方法而已……）

5、既然数域扩展了，我们自然要问，原先擅长的运算，在新数域中还能用吗？

（就好像见到了新的果子，我们总想试试，原先熟悉的吃法，在它身上也ok吗？）

分数好办，因为我们这时候已经将12×3称为“12的3倍”了，而我们又知道3这家伙和9/3其实是一回事儿。所以我们知道12×（9/3）可以说成是”12的9/3倍“。

嗯，这样就是分数了。

简单地套用一下，我们就可以得到，“12×1/3”就是“12的1/3倍”而已。

小数和分数差不多，大概也就这样吧。

这个时候的乘法，已经开始脱离“相同加数的加法的简便运算”的含义了。

就好像传话，每个人说的跟下一个人都不会差太多，但是最后一个和最开始的一个却可以完全不相关。

所以这里也是一个坎儿。

很多五年级的孩子在这里受挫。

他们不肯放弃乘法原初的含义，纠结于“什么叫1/3个”，对分数倍难以理解。

我不知道该说他们固执，还是该说他们严谨。

但是“类比”能力过差、太过于要求“必须和原来完全一样”，这样的话是没办法进步的。

向前探索的过程，多少需要那么一点点想象力。

6、我们遇到了越来越大的数

我们开始计算5×5×5×5×5×5×5这样的数了。

我们遇到了和以前一样的困难：写这么长好麻烦。

没关系，我们只要用和以前一样的方式来解决它就好了：定义一个新的书写方式。

于是我们有了5^7(5的7次方)这样的运算。

7、和乘法一样，我们想知道新的乘方运算是不是能拿来对付所有数。

我们试了试5^(2/3)。

……

这没办法用“2/3个5连乘”来理解啊，怎么办= =……

别着急，分数乘法那会儿我们怎么办的来着？对了，变成整数看看。

如果是8/4这样的分数，5^(8/4)次方，也就是5^2，跟5^8有什么关系？

啊，这个好懂，它开了4次方根。

那么跟以前一样，照样子类比一下就好了，5^(2/3)，就是5的2次方，再开3次方根。

不错不错，各个运算在各个数上都能用。

挺好挺好。

8、然后我们发现了无理数。

这不好= =，我们不能像把分数归到整数再尝试用除法来理解那样做了。

因为无理数这倒霉玩意儿来源多种多样，不都是用同一种运算得到的。

这怎么办……

没关系。

侦探们说，思路受阻的时候就回案发现场看看。

我们也是，向分数一样，我们仍旧回头看看无理数本身，我们之前用了什么统一的方式来对付这类数？

我们用了极限逼近。

那么就同样的用到计算上来吧。

于是我们会算3^π了。

至于意思？

呃，大概，反正，咱们就是一点点儿类比出来的嘛，反正我会算了，管他什么意思= =~

9、除了数之外，我们还玩儿了图形。

从平面到立体，再到奇奇怪怪的各种空间。

……

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好啦总之现在我们有了好多好多好多乘法的使用方式了~

这时候我们冷静下来回头一看，哎呀这些乘法的含义都有微妙的差别呢！这么多互不相同的东西，居然都用同样的乘法来计算，这一定有什么原因！

于是我们开始坐下来思考，最终想到的这个原因，就是各位所回答的“本质”

可是我们这一路走来，并不仅仅是收获了最后的这个“本质”而已。

我们体会到了“发明个新符号来化简写法。”

我们更加放宽心态，觉得“算不出来也不要紧，这就是一种新的数嘛”

我们遇到困难的时候，逐渐习惯于“以前是怎么做的？有没有什么可以参考？”的类比。

甚至也许可以包括，“因为他们都可以表示成同样的形式，所以他们本身是相对应有联系的”这种更开阔的思维方式。

可以看到，每一次我们的进步，都伴随着“打破以前纠结的内容，用更高层次的视角来看问题”这样的转变。

写好多次很累，那就不要这样写嘛，发明个新符号咯~

除不尽好头疼，那就不要除了嘛，这就是个新数啦~

找不到谁的平方数是-1，那就不找了嘛，给他个符号就好啦~

几何当中居然有代数里面的乘法，那说明他们本来就是一个事物的两个方面嘛，有对应也很好啊~

……

具体到你的问题，“这些意义各不相同，到底哪个是本质？”，那么他们都不是本质。

我觉得，会开始纠结这样的问题，就是迈进下一个阶段的前兆。

等什么时候终于想通了，看开了，意识到“之前所纠结的问题根本就不是问题”，就是给自己打开了一扇新的门。

幸运或不幸的，我们绝大多数人所能遇到的门，都已经有前人打开过了，他们可以告诉我们，这扇门打开之后是什么样子，帮助我们更快地打开自己的这同一扇门

你只是暂时停在了这样的一扇门前而已。

如果你想要快点打开它，阅读些前人的经验、把心放开。

请加油。