\quad 此前，我们已经可以用收敛数列（或收敛的数项级数）来表示或定义一个数，接下来讨论：

如何由一个收敛的函数序列（或收敛的函数项级数）来表示或定义一个函数

【示例】：

（1）证明： lim ⁡ n → ∞ ( 1 + x n ) n = e x \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(1+\frac{x}{n})^n=e^x n→∞lim​(1+nx​)n=ex；

（2）证明： ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n n = ln ⁡ ( 1 + x ) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^n}{n}=\ln (1+x) ∑n=1∞​(−1)nnxn​=ln(1+x).

对以上两个问题，先前的做法通常是将每一项中的变量视为常数，之后。我们就研究其函数性质。

定义 1（函数序列）：设 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯   , f n ( x ) , ⋯ f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x),\cdots f1​(x),f2​(x),⋯,fn​(x),⋯ 是具有公共定义域 E E E 的一列函数，则称其为定义在 E E E 上的一个 函数序列，或 函数列，简记作 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 或 f n ( x ) , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ f_n(x),n=1,2,3,\cdots fn​(x),n=1,2,3,⋯。

\quad 此外，类似于数列极限，函数序列同样有极限的概念。

定义 2（极限函数）：设 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 是定义在集合 E E E 上的函数序列，若存在 x 0 ∈ E x_0 \in E x0​∈E，使得数列 f 1 ( x 0 ) , f 2 ( x 0 ) , ⋯   , f n ( x 0 ) , ⋯ f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0),\cdots f1​(x0​),f2​(x0​),⋯,fn​(x0​),⋯ 收敛，则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在点 x 0 x_0 x0​ 处 收敛， x 0 x_0 x0​ 称为 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的一个 收敛点。

\quad 设 D D D 是函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的收敛点全体构成的集合，则称 D D D 为 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的 收敛域。

\quad 对于任意的 x ∈ D ⊂ E x \in D \subset E x∈D⊂E，若有 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的一个极限值与之对应，则由这个对应法则所确定的 D D D 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 称为 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的极限函数。即 f ( x ) = lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) , x ∈ D . f(x) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x),\quad x \in D. f(x)=n→∞lim​fn​(x),x∈D. 或 f n ( x ) → f ( x ) ( n → ∞ ) , x ∈ D . f_n(x) \rightarrow f(x) \quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D. fn​(x)→f(x)(n→∞),x∈D.

\quad 对 定义 2 作以下说明：

（1）一般情况下，函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的收敛域 D D D 是一个区间；

（2）由于 f ( x ) f(x) f(x) 是通过逐点定义的方式得到的，因此称 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上 点态收敛 于 f ( x ) f(x) f(x)。

（3）由 定义 2 可知： 函数列 { f n ( x ) } 在 D 上点态收敛于 f ( x ) ⟺ 对于任意给定的 x 0 ∈ D , 都有数列 { f n ( x 0 ) } 收敛于 f ( x 0 ) . \text{函数列}\{f_n(x)\} \text{在} D \text{上} \text{点态收敛于} f(x) \Longleftrightarrow \text{对于任意给定的} x_0 \in D,\text{都有数列} \{f_n(x_0)\} \text{收敛于} f(x_0). 函数列{fn​(x)}在D上点态收敛于f(x)⟺对于任意给定的x0​∈D,都有数列{fn​(x0​)}收敛于f(x0​). （4）"函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)" 可用 “ ϵ − N \epsilon-N ϵ−N” 语言描述： ∀ x 0 ∈ D , ∀ ϵ > 0 , ∃ N = N ( ϵ , x 0 ) , ∀ n > N : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ < ϵ . \forall x_0 \in D,\forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon,x_0),\forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|0,∃N=N(ϵ,x0​),∀n>N:∣fn​(x0​)−f(x0​)∣ 0 \epsilon>0 ϵ>0，存在正整数 N N N，使得当 n > N n>N n>N 时， ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \left|f_n(x)-f(x)\right| N , ∀ x ∈ D : ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ . \forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon),\forall n>N,\forall x \in D:|f_n(x)-f(x)|0,∃N=N(ϵ),∀n>N,∀x∈D:∣fn​(x)−f(x)∣ 0 , ∀ N , ∃ n > N , ∃ x 0 ∈ D : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≥ ϵ 0 . \exists \epsilon_0>0,\forall N,\exists n>N,\exists x_0 \in D:|f_n(x_0)-f(x_0)|\ge \epsilon_0. ∃ϵ0​>0,∀N,∃n>N,∃x0​∈D:∣fn​(x0​)−f(x0​)∣≥ϵ0​. （3）“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上 一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)” 的几何意义： 对任意给定的 ϵ > 0 , 存在正整数 N , 当 n > N 时 , 曲线 y = f n ( x ) 都将落在以曲线 y = f ( x ) − ϵ 与 y = f ( x ) + ϵ 为边的带状区域 . \text{对任意给定的}\epsilon>0,\text{存在正整数}N,\text{当}n>N\text{时},\text{曲线} y=f_n(x)\text{都将落在以曲线}y=f(x)-\epsilon\text{与}y=f(x)+\epsilon\text{为边的带状区域}. 对任意给定的ϵ>0,存在正整数N,当n>N时,曲线y=fn​(x)都将落在以曲线y=f(x)−ϵ与y=f(x)+ϵ为边的带状区域.

定义 4（函数序列的内闭一致收敛）：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（ x ∈ E x \in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，若对于任意的闭区间 [ a , b ] ⊂ D [a,b] \subset D [a,b]⊂D， { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上 内闭一致收敛 于 f ( x ) f(x) f(x)。

\quad 对 定义 4 作以下说明：

（1）在 D D D 上一致收敛的函数序列一定也在 D D D 上内闭一致收敛，但反之不成立。

\quad 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（ x ∈ E x \in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，思考：什么情况下， { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上一致收敛？

\quad 下面，给出函数序列一致收敛的几个判别方法（三个充要条件）。

定理 1：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（ x ∈ E x \in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为： lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ x ∈ D ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\underset{x \in D}{\sup}|f_n(x)-f(x)|}=0. n→∞lim​x∈Dsup​∣fn​(x)−f(x)∣=0.

定理 2：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（ x ∈ E x \in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为：对任意的数列 { x n } \{x_n\} {xn​}， x n ∈ D x_n \in D xn​∈D，成立 lim ⁡ n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) = 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))=0. n→∞lim​(fn​(xn​)−f(xn​))=0.

\quad 由 定理 2 可得 推论 1。

推论 1：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（ x ∈ E x \in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上不一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为：存在数列 { x n } \{x_n\} {xn​}， x n ∈ D x_n \in D xn​∈D，成立 lim ⁡ n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ≠ 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))\ne0. n→∞lim​(fn​(xn​)−f(xn​))​=0.

注：推论 1 常用来判断函数序列的不一致收敛。

定理 3（函数序列的Cauchy 收敛准则）： 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（ x ∈ E x \in E x∈E） 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为：对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0，存在正整数 N N N，使得当 n , m > N n,m>N n,m>N 时， ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \left|f_n(x)-f(x)\right|