问 : 判别函数列 \left\{f_x(x)\right\} 在区间 \boldsymbol{I} 上一致收敛有哪些判别法?

答：函数列 \left\{f_x(x)\right\} 在区间 \mathrm{I} 上一致收敛（设极限函数是 \mathrm{f}(\mathrm{x}) ）有以下四个等价叙述:

定义 \forall \varepsilon>0, \exists N \in N, \forall n>N, \forall x \in I \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x)\right|0, \exists N \in N, \forall n>N, \forall p \in N, \forall x \in I \Rightarrow \left|f_n(x)-f_{n+p}(x)\right|0\right. 即可. 例如, 函数列 \left\{\frac{n x}{n^2+(n+1) x}\right\} 对于 \forall x \in(0,+\infty), 有极限函数 f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n x}{n^2+(n+1) x}=0 .

但在 (0,+\infty) 内取数列 \{n\}, 有 \lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{n \bullet n}{n^2+(n+1) n}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{2 n^2+n}=\frac{1}{2}>0,

所以函数列 \left\{\frac{n x}{n^2+(n+1) x}\right\} 在 (0,+\infty) 内非一致收敛。

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