之前，已经写过了消费者行为理论的部分内容：

【微观经济学】消费者行为理论：偏好与效用

【微观经济学】消费者行为理论：无差异曲线和特殊的效用函数

其中的重点内容是无差异曲线、边际替代率和特殊的效用函数。​

今天来说说效用最大化。我们只考虑两种商品的情形。1 预算约束

我们假设个人有I 元可以用来购买商品x与商品y，x的价格为Px，y的价格为Py，则消费者的预算约束为Px*x+Py*y ≤I，这个等式表达的含义是在x和y两种商品上的消费不能超过I 元。(I 是字母不是1)

我们这样考虑，如果用I 元只购买y，那么可以购买y的数量为I/Py；如果用I 元只购买x，那么可以购买x的数量为I/Px。这样就分别对应了下图中y轴和x轴的截距。预算线以变形为y=I/Py-Px/Py*x，预算线的斜率为-Px/Py，这表示了在市场上商品y与商品x的交换比率。

阴影区域内及预算约束线上表示了消费者能够购买的所有(x,y)消费组合。

2 效用最大化

在图形分析上，我们通过无差异曲线与预算约束线的位置关系来判断是否达到效用最大化，通常需要满足两个条件：最大化的一阶条件and最大化的二阶条件。

最大化的一阶条件：要求无差异曲线与预算约束线相切（如下图中无差异曲线U2与预算约束的位置关系的），即在切点C处，预算约束线与无差异曲线的斜率相等，其含义是市场上y与x的交换比率与个人愿意用y去换更多的x的意愿程度相等。

数学上推导为-Px/Py=dy/dx，变换形式为Px/Py=-dy/dx=MRS，即为了获得最大效用水平，应花费掉所有的收入，并使得边际替代率MRS=两种商品的价格之比。

从上图中我们可以发现，消费者能够买到A的商品组合，但是因为没有花光所有收入，没有使效用水平最大；在B点，消费者花光了所有收入，但是却可以改进自身的消费方式，在C点获得最大的更高的效用水平；在D点，虽有更高的效用水平但是却没有那么多的钱去购买商品组合D。

最大化的二阶条件：这个条件其实是针对无差异曲线来说的，如果无法保证无差异曲线的凸性（即边际替代率递减），那么无差异曲线与预算约束线的切点并不一定是能够获得最大效用水平的点。如下图中的C点，虽然C是无差异曲线U1与预算线的切点，但是在另一个切点A出能够达到更高的效用水平U2.

一种特殊情况：角点解

在上面效用最大化的分析中，我们看到消费者对两种商品都消费了一定的数量，但是在一些特殊的情况下，消费者的偏好是不喜欢其中的一种商品而选择不消费不喜欢商品，这样的情况下就会出现角点解。如下图中的E点是在消费者选择不消费商品y获得的最大效用，消费者将所有的钱都去买了x，而y的消费数量为0。

举个例子，在疫情之前，有一小部分人可能会去消费蝙蝠这种商品，但是在疫情之后，绝大部分人应该都会对消费蝙蝠敬而远之，此时在蝙蝠和其他另外一种商品比如说牛肉之间，在进行效用最大化分析就会出现角点解。

效用最大化的数学解决：

我们给定预算约束：Px*x+Py*y =I，求解最大化效用U(x,y)。（一般来说，此处给的效用函数都会满足边际替代率递减的假设）

即：Max U(x,y)

s.t. I=Px*x+Py*y

我们对上面的条件建立拉格朗日方程

L=U(x,y)+λ(I-Px*x-Py*y)

对x，y和λ分别求偏导，即可求解出满足最大化效用的消费组合点(x*,y*).

不知道，大家是否还记得我们之前写过的微观主要讲了这么一个问题：约束-选择-最优化问题。在效用最大化问题中，看了上面的数学解决方法，约束是不是就对应着消费者的预算约束，最优化就是我们要达到效用最大化，选择就是我们所求解的满足效用最大化的消费组合点(x*,y*)，即消费者应该选择的消费组合。

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