本文亦发于：第9讲：风险偏好与投资储蓄行为（Ⅳ）

前文的分析表明，投资者在风险资产上的投资额与其风险厌恶程度直接相关。风险厌恶程度越高的投资者，对风险资产的持有就越小。

那么，投资者是风险中性的（风险厌恶度为0），其投资行为会是怎样的呢？

我们用线性效用函数u(c)=\alpha c来刻画风险中性的投资者，不难看出，u^{\prime}(c)=\alpha,u^{\prime\prime}(c)=0，因此，风险中性投资者的绝对风险规避系数与相对风险规避系数都是0。对这样的投资者，其组合优化问题可以写为

\begin{aligned} \underset{a}{\rm max}\, E[u(\tilde{w})]&=\underset{a}{\rm max}\, E\bigg[\alpha\bigg(w_0(1+r_f)+a(\tilde{r}-r_f)\bigg)\bigg]\\ &=\underset{a}{\rm max}\, \bigg\{\alpha\bigg(w_0(1+r_f)+\alpha a[E(\tilde{r})-r_f]\bigg)\bigg\} \end{aligned} \\

因此，只要E(\tilde{r})>r_f，风险中性投资者就会尽可能多地买入风险资产。如果她不能借贷，她就会把其所有财富都投入风险资产。而如果她可以以无风险利率随意借贷，那她就会借入尽可能多的钱投入到风险资产上。在这种情况下，风险中性投资者会承担社会中所有的风险，而给其他风险厌恶的投资者提供无风险资产的供给。也就是说，所有的风险厌恶者把他们的钱借给风险中性投资者，让风险中性投资者购买所有的风险资产。而风险中性投资者向其债主承诺无风险的回报率。

资产的价值在于它们在未来会产生经济利益（如带来现金回报）。购买资产就是牺牲当前的现金来换取未来的利益。换言之，购买资产是通过牺牲当前的消费来获取未来的消费（因为现金可以买来消费品）。所以，购买资产本质上是一种储蓄行为。一般来说，储蓄者就是消费者。因此，如果需要了解对资产的需求，就必须研究消费者的消费和储蓄行为，分析影响储蓄的各种因素。这便是这一节要解决的问题。

我们先从确定性情况开始。

假设消费者在今天拥有初始财富w，这些财富既可以用于今天的消费，也可以储蓄下来留到明天。设储蓄量为s，可以投资在一种总回报为R的无风险资产上（总回报R=1+r，其中r为回报率）。这样，今天的储蓄量s将在明天变为sR。

在这里，我们只考虑两期的问题，即消费者在明天把所有财富都消费掉，不再进行储蓄。我们还假设今天与明天之间消费者的主观时间偏好为\delta（0R_R(sR)>1时，有\frac{ds}{dR}R_R(sR)>1的情形）。

我们仍然沿用确定情况下的框架，讨论消费者的消费和储蓄决策问题。现在假设资产的总回报率\tilde{R}是一个随机变量。这里，我们关心的问题是当\tilde{R}的期望不变，但风险变得更大的时候，消费者现在的储蓄会怎样变化。当我们说\tilde{R}的风险变大时，可以简单理解为\tilde{R}的波动方差变得更大。

我们先从直观上来想想这个问题。如果回报率的风险度上升，那么意味着储蓄的价值下降（可能更容易碰上不好的回报率实现值）。这时还不如减少储蓄，增加当前确定的消费。我们可以把这种回报率风险度上升而压低储蓄的倾向理解为一种替代效应。但另一方面，还有人可能会认为正因为未来不确定性上升，所以更应该多储蓄来为未来可能出现的不利局面做好准备。这种因为风险度上升而增加储蓄的动机叫做预防性储蓄（precautionary saving）动机。替代效应与预防性储蓄动机谁更强，就决定了消费者面对风险时的储蓄行为。

可以把消费者的优化问题写为

\underset{s}{\rm max}\, u(w-s)+\delta E[u(s\tilde{R})] \\

相应的一阶条件为

u^{\prime}(w-s)=\delta E[\tilde{R}u^{\prime}(s\tilde{R})] \\

我们可以这样来思考。当\tilde{R}的波动方差变大之后，如果\delta E[\tilde{R}u^{\prime}(s\tilde{R})]也变大，那么相应地，储蓄s需要增加才能使得u^{\prime}(w-s)变大。

如果定义函数g(R)=Ru^{\prime}(sR)，要使\tilde{R}的波动方差变大后\delta E[\tilde{R}u^{\prime}(s\tilde{R})]也变大，那么g(R)得是个凸函数（g^{\prime\prime}(R)>0）。

下面的示意图可以说明这一点。

假设\tilde{R}之前各以0.5的概率取R-\Delta与R+\Delta两值。现在我们假设\tilde{R}保持的均值不变，但加大其波动方差。令\tilde{R}之前各以0.5的概率取R-2\Delta与R+2\Delta两值。从图1可以看到，当g(R)是个凸函数时，E[g(\tilde{R})]将会变大。

可以计算

\begin{aligned} g^{\prime}(R)&=u^{\prime}(sR)+sRu^{\prime\prime}(sR)\\ g^{\prime\prime}(R)&=2su^{\prime\prime}(sR)+s^2Ru^{\prime\prime\prime}(sR) \end{aligned} \\

这里我们引入Kimball(1990)提出的“审慎”（prudence）的概念。

定义绝对审慎系数P_A(y)为

P_A(y)\triangleq -\frac{u^{\prime\prime\prime}(y)}{u^{\prime\prime}(y)} \\

相对审慎系数P_R(y)为

P_R(y)\triangleq -\frac{yu^{\prime\prime\prime}(y)}{u^{\prime\prime}(y)} \\

于是

\begin{aligned} g^{\prime\prime}(R)&=su^{\prime\prime}(sR)\bigg(2+\frac{sRu^{\prime\prime\prime}(sR)}{u^{\prime\prime}(sR)}\bigg)\\ &=su^{\prime\prime}(sR)(2-P_R(sR)) \end{aligned} \\

由于s>0,u^{\prime\prime}(sR)P_R(sR)>2时，g^{\prime\prime}(R)>0。此时，回报率\tilde{R}风险的扩大将增大储蓄s。相反，如果P_R(sR)s_A>s_B，当且仅当P_R(sR)P_R(sR)>2。

这个命题说的是面对回报率风险度上升的情况，越是审慎的人（相对审慎系数越大）越会增加储蓄。对这些审慎的人，预防性储蓄的动机压过了替代效应。

我们再来看一个例子。CRRA效用函数的表达式为

u(c)=\frac{c^{1-\gamma}-1}{1-\gamma} \\

相应的一、二、三阶导数分别为

\begin{aligned} u^{\prime}(c)&=c^{-\gamma}\\ u^{\prime\prime}(c)&=-\gamma c^{-\gamma-1}\\ u^{\prime\prime\prime}(c)&=\gamma(\gamma+1) c^{-\gamma-2} \end{aligned} \\

则有

\begin{aligned} P_A(c)&=-\frac{u^{\prime\prime\prime}(c)}{u^{\prime\prime}(c)}=\frac{\gamma+1}{c}\\ P_R(c)&=-\frac{cu^{\prime\prime\prime}(c)}{u^{\prime\prime}(c)}=\gamma+1\\ \end{aligned} \\

因此，对于CRRA型效用函数而言，其相对风险规避系数和相对审慎系数都是常数。

参考文献：

[1] 《金融经济学二十五讲》. 徐高. 中国人民大学出版社. 2018-7.

[2] Kimball, M. (1990). Precautionary Saving in the Small and in the Large. Econometrica, 58(1), 53-73.