切比雪夫不等式是怎么证明出来的？（每一步详细解释，三分钟学会）

2024-07-14 23:10| 来源: 网络整理| 查看: 265

学这个不等式的时候我就在想，一个期望，一个方差再加一个任意正数怎么就扯上关系了？哎嘿，那今天咱就聊一聊。

不说废话，直接开始证明：

定义：设随机变量 $X$ 有数学期望 $E(X)=\mu$ ,方差 $D(X)=\sigma ^{2}$ ,则对于任意正数 $\varepsilon$ ，有不等式

$P\{|X-\mu |\geq\varepsilon \}\leq \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon ^{2}}$

证明：（本文是以连续型随机变量为例的昂，离散型的随机变量同理）

设 $X$ 为连续型随机变量，其概率密度函数为 $f(X)$ ,则有

$P\{|X-\mu |\geq \varepsilon \}=\int_{|X-\mu |\geq \varepsilon }f(x)dx$

这里 $|X-\mu |\geq\varepsilon$ 就相当于是一个积分的范围（这个积分形式就是连续型随机变量算概率的基本形式，这个地方不会的小伙伴可以翻翻概率论课本看一下）。

$\leq \int _{|X-\mu |\geq \varepsilon }\frac{|X-\mu |^{2}}{\varepsilon ^{2}}f(x)dx$

注意看，这个地方非常关键，我们分三小步看：

（1）因为 $|X-\mu |\geq \varepsilon$ ，所以 $\frac{|X-\mu |^{2}}{\varepsilon ^{2}}\geq 1$ ，这个不难理解吧，平方一下都是正数，然后分子又大于等于分母，所以整体大于等于1。

（2）因为 $\frac{|X-\mu |^{2}}{\varepsilon ^{2}}\geq 1$ 且由概率密度函数的性质 $f(x)\geq 0$ ，那 $\frac{|X-\mu |^{2}}{\varepsilon ^{2}}f(x)\geq f(x)$ 是成立的，这个也不难理解吧。

（3）定积分的保号性：如果在区间 $[a,b]$ 上有 $f(x)\leq g(x)$ ,那么有

$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx$

第三小步再结合前两小步，小伙伴们知道这个不等号是怎么来的了吧，哎嘿，怎么样，理解了嘛？

（当然，关于这个定积分的保号性大家可以先记住，我会再专门分享一下这个东西是怎么来的，不必担心哦）

这一大步说完了，咱接着往下说：

$\leq \frac{1}{\varepsilon ^{2}}\int _{-\infty }^{+\infty}(X-\mu )^{2}f(x)dx$

这一步，我们是把和积分没有关系的分母提了出去，并且把积分区间扩展到 $[-\infty ,+\infty]$ 上，所以这个不等号也是成立的。

这时候有没有小伙伴发现，现在的积分是不是就是连续型随机变量求方差的定义式呀，哈哈哈哈哈，我们是不是只要把方差带入就行了嘛，所以有

$=\frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon ^{2}}$

所以有

$P\{|X-\mu |\geq\varepsilon \}\leq \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon ^{2}}$

嗯哼，理解了嘛？各位小伙伴，本文就到这里喽~

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