\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义！ \(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学，so \quad easy！}} }}}\)

选择性必修第三册同步提高，难度3颗星！

① 分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有\(n\)类办法，在第一类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第二类办法中有\(m_2\)种不同的方法，……，在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法 那么完成这件事共有\(N=m_1+m_2+⋯+m_n\)种不同的方法.  

② 分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成\(n\)个步骤，做第一步有\(m_1\)种不同的方法，做第二步有\(m_2\)种不同的方法，……，做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事有\(N=m_1× m_2×⋯× m_n\)种不同的方法.  

③ 分类计数原、理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． \({\color{Red}{ Eg }}\) 小芳要去\(party\)，衣柜里有\(3\)件连衣裙、\(4\)件上衣和\(5\)件裙子，那她有多少种搭配的方式去\(party\)呢？显然是\(3+4×5=23\)种方式.  

① 排列概念 从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤ n)\)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从\(n\)不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列.  

② 排列数 从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤ n)\)个元素的所有排列的个数叫做从\(n\)个元素中取出\(m\)元素的排列数，用符号\(A_n^m\)表示.其中

或

③ 阶乘 \(n !\)表示正整数\(1\)到\(n\)的连乘积，叫做\(n\)的阶乘，规定\(0 !=1\)．

① 组合概念 一般地，从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤ n)\)个元素并成一组，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合.  

② 组合数 从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤ n)\)个元素的所有组合的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数．用符号\(C_n^m\)表示．其中

③ 排列与组合的区别 \((1)\)排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 比如 (Ⅰ)一个班有\(50\)个学生，选两个班长有多少种选法？ (Ⅱ)一个班有\(50\)个学生，选正副班长各1人有多少种选法？ 显然问题Ⅰ，Ⅱ的答案是\(C_{50}^2\)，\(A_{50}^2\)，选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序”. \((2)\)从\(n\)个元素中取出\(m\)个元素的排列(排列数\(A_n^m\)) 可以理解为分为两步： 第一步 从\(n\)个元素中取出\(m\)个元素组合，得到组合数\(C_n^m\)； 第二步 再对\(m\)个元素进行排列，得到排列数\(A_m^m\)，根据分步乘法计数原理得到 \(A_{n}^{m}=C_{n}^{m} A_{m}^{m} \Rightarrow C_{n}^{m}=\dfrac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}\)  

③ 组合数的性质 ① 规定:\(C_n^0=1\) ②\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\) (比如\(C_{10}^8=C_{10}^2\)，从\(10\)个抽出\(8\)个组合的组合数与从\(10\)个抽出\(2\)个组合的组合数相等) ③\(C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}\) (从\(n+1\)个中抽出\(m\)个\(C_{n+1}^m=\)抽不到元素A的组合数\(C_n^m+\)抽到元素A的组合数\(C_n^{m-1}\)) ④\(r C_{n}^{r}=n C_{n-1}^{r-1}\) (\(r C_{n}^{r}=r \cdot \dfrac{n !}{r !(n-r) !}=\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !}\)，\(n C_{n-1}^{r-1}=n \cdot \dfrac{(n-1) !}{(r-1) !(n-r) !}=\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !}\)) \({\color{Red}{ PS }}\) 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！  

【典题1】(1)\(8\)本不同的书，任选\(3\)本分给\(3\)个学生，每人一本有多少种不同的分法？ (2)将\(4\)封信投入\(3\)个邮筒，有多少种不同的投法？ (3)\(5\)名运动员争夺\(3\)项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，那获得冠军有多少种可能? (4)\(5\)名运动员报名参加\(3\)项比赛，每人只能参加一项，那有多少种报名方法？ 【解析】(1)“\(8\)本不同的书，任选\(3\)本分给\(3\)个学生”的意思等价于“\(3\)位学生在\(8\)本不同的书上选\(3\)本书”， \({\color{Red}{ (可想象下：你是老师，要完成一件事情：安排三个学生A,B,C去拿书，具体如下)}}\) 先让学生\(A\)去拿书，从\(8\)本书中任选一本有\(8\)种选法， 再让学生\(B\)去拿书，从余下的\(7\)本书中任选一本有\(7\)种选法， 最后让学生\(C\)去拿书，从剩下\(6\)本书供选择有\(6\)种选法. 由分步计数原理知：共有\(8×7×6=336\)种选法. (2)\({\color{Red}{(想象你是个邮差，你要把四封信a,b,c,d放在三个邮筒A,B,C里，那你会如何投信呢？) }}\) 完成这件事分四步进行，每一步投一封信，每一封信都有\(3\)种选择，即每一封信都有\(3\)种投法. 由分步计数原理知：共有\(3×3×3×3=3^4=81\)种. (3)\({\color{Red}{(现在你是颁奖嘉宾，拿着3个冠军奖牌给5个运动员) }}\) 完成这件事分\(3\)步进行，每一步颁一个奖，都有\(5\)种不同的可能. 由分步计数原理知：共有\(5×5×5=5^3=125\)种方法. (4) \({\color{Red}{(这次你是教练，你带着运动员去报名) }}\) 完成这件事分\(5\)步进行，每一步是运动员去报名，都有\(3\)种不同的可能. 由分步计数原理知：共有\(3×3×3×3×3=3^5=243\)种方法. \({\color{Red}{(不可假设让比赛项目去挑运动员，否则同一运动员会出现报名多个比赛，5^3是错的) }}\) 【点拨】 ① 利用计数原理，要先明确你是要分类还是分步； ② 作类似题目可通过想象，想象自己是某个角色去“完成对应的事项”，同时给到对应事物“名称”有助于你的思考. ③ 问题一用到排列组合其实就是\(A_8^3\)或\(C_8^3 A_3^3\)；问题二-四属于“可重复的排列”，它允许一个邮筒里放多封信，一个运动员夺到多个冠军，一个比赛有多个运动员参加.

【典题2】某广场中心建造一个花圃，花圃分成\(5\)个部分(如图)，现有\(4\)种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有\(\underline{\quad \quad}\)种．(用数字作答) 【解析】 你想象自己是园丁，现在去按要求栽种花，先给不同部分标数字，按照①--⑤顺序栽种，由于②④是否同色会影响到⑤的颜色选择，故要分类讨论， 分两类： \({\color{Red}{一\quad ②、④同色 }}\) 第一步：①可用4种颜色； 第二步：②可用剩下的\(3\)种颜色； 第三步：③可用剩下的\(2\)种颜色； 第四步：④与②同色，则\(1\)种颜色选择； 第五步：①、②、④使用了两种颜色，则⑤还有\(2\)种颜色选择， 即\(4×3×2×1×2=48\)种方法； \({\color{Red}{二 \quad ②、④不同色 }}\) 第一步：①可用\(4\)种颜色； 第二步：②可用剩下的\(3\)种颜色； 第三步：③可用剩下的\(2\)种颜色； 第四步：④与②不同色，则\(1\)种颜色选择； 第五步：①、②、④使用了三种颜色，则⑤还有\(1\)种颜色选择； 即\(4×3×2×1×1=24\)种方法； 所以一共栽种的方法有\(48+24=72\). 故答案为\(72\). 【点拨】该类型“涂色问题”，要注意②与④是否同色的情况，因为它会影响⑤的选择个数.  

1(★)有\(4\)名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？  

2(★)有\(4\)名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？  

3(★)将\(5\)种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是\(\underline{\quad \quad}\)  

4(★★)如图，用\(4\)种不同的颜色给三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)的\(6\)个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的作色方法共有\(\underline{\quad \quad}\)种．  

5(★★)如图，用四种不同的颜色给图中的\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\),\(F\),\(G\)七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有\(\underline{\quad \quad}\)种.　 　  

1.\(81\) 2.\(64\) 3.\(180\) 4.\(264\) 5.\(600\)  

【典题1】解方程 (1)\(C_{9}^{x}=C_{9}^{2 x-3}\)； \(\qquad \qquad\) (2)\(A_{8}^{x}=6 A_{8}^{x-2}\)． 【解析】(1)根据题意，若\(C_{9}^{x}=C_{9}^{2 x-3}\)， 则有\(x=2x-3\)或\(x+(2x-3)=9\)，解得\(x=3\)或\(4\)； (2)根据题意，\(A_{8}^{x}=6 A_{8}^{x-2}\)，则\(\left\{\begin{array}{l} x \leq 8 \\ x-2 \leq 8 \end{array}\right.\)，有\(x≤8\)，且\(x∈N\)， 则有\(\dfrac{8 !}{(8-x) !}=6 \times \dfrac{8 !}{(10-x) !}\)， 化简可得：\(x^2-19x+84=0\)，解得\(x=7\)或\(14\)， 又由\(x≤8\)，且\(x∈N\)，则\(x=7\)，则方程的解为\(x=7\)． 【点拨】注意\(x\)的取值范围.  

【典题2】化简\(A_{m}^{m}+A_{m+1}^{m}+\cdots+A_{2 m}^{m}\)． 【解析】\(A_{m}^{m}+A_{m+1}^{m}+\cdots+A_{2 m}^{m}A_{m}^{m}+A_{m+1}^{m}+\cdots+A_{2 m}^{m}\) \(=\left(C_{m}^{m}+C_{m+1}^{m}+\cdots+C_{2 m}^{m}\right) m !\) \({\color{Red}{ (利用C_{n}^{m}=\dfrac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}} \Rightarrow A_{n}^{m}=C_{n}^{m} A_{m}^{m}=C_{n}^{m} m !)}}\) \(=\left(C_{m+1}^{m+1}+C_{m+1}^{m}+\cdots+C_{2 m}^{m}\right) m !\) \({\color{Red}{(多次利用了C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}) }}\) \(=C_{2 m+1}^{m} \cdot m !\) \(=\dfrac{(2 m+1) !}{m !(m+1) !} \cdot m !\) \(=\dfrac{(2 m+1) !}{(m+1) !}\) \(=A_{2 m+1}^{m}\) 【点拨】掌握组合数\(C_n^m\)和排列数\(A_n^m\)的关系，多熟悉组合数的性质.  

1(★)[多选题]下列等式正确的是(　　) A．\((n+1) A_{n}^{m}=A_{n+1}^{m+1}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\dfrac{n !}{n(n-1)}=(n-2) !\)\(\qquad \qquad\) C．\(C_{n}^{m}=\dfrac{A_{n}^{m}}{n !}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\dfrac{1}{n-m} A_{n}^{m+1}=A_{n}^{m}\)  

2(★★)求证：\(\dfrac{k}{n-k} C_{n-k}^{k}=C_{n-k-1}^{k-1}\left(n, k \in N^{*}\right)\)；    

3(★★★)设\(m\),\(n∈N^*\),\(n≥m\)，求证： \((m+1) C_{m}^{m}+(m+2) C_{m+1}^{m}+(m+3) C_{m+2}^{m}+\cdots+n C_{n-1}^{m}+(n+1) C_{n}^{m}=(m+1) C_{n+2}^{m+2}\)．      

1.\(ABD\) 2. 证明略 3. 证明略

遇到有特殊要求的元素或位置，可以先优先考虑处理他们.   【典题1】由\(0\),\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\)可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 【解析】由于个位必须是奇数，首位(十万位)不能为\(0\)，有特殊要求，应该优先安排. \({\color{Red}{(个位、首位属于特殊位置，0属于特殊元素) }}\) \({\color{Red}{方法1 }}\) 从位置的角度入手，作法如下：先排个位有\(C_3^1\)，然后排首位有\(C_4^1\)，最后排其它位置有\(A_4^3\)，由分步计数原理得\(C_4^1 C_3^1 A_4^3=288.\) \({\color{Red}{方法2 }}\) 从元素的角度入手，分\(2\)类，作法如下： (1)若五位奇数含\(0\)的，先排\(0\)有\(C_3^1\)，再选个奇数排个位有\(C_3^1\)，最后从\(4\)个数字中选\(3\)个排列有\(A_4^3\)，由分步计数原理得\(C_3^1 C_3^1 A_4^3=216\)； (2)若五位奇数不含\(0\)的，选个奇数排个位有\(C_3^1\)，再全排列剩下\(4\)个数有\(A_4^4\)，由分步计数原理得\(C_3^1 A_4^4=72\)； 故共\(216+72=288\).  

【典题2】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？ 【解析】 \({\color{Red}{ 方法1 (视学生甲为特殊元素，优先处理) }}\) 分两步，先安排甲就位，有\(A_5^1\)种可能，再安排其他\(6\)名学生，有\(A_6^6\)种可能，由分步计数原理得排法有\(A_5^1 A_6^6=3600\)种. \({\color{Red}{ 方法2 (视首位与末位为特殊位置，优先处理)}}\) 分两步，先从其他\(6\)名学生中抽出\(2\)名学生在首位与末位就位(此时甲不可能坐在首位或末位)，有\(A_6^2\)种可能，再安排剩下的\(5\)名学生就位，有\(A_5^5\)种可能，由分步计数原理得排法有\(A_6^2 A_5^5=3600\)种.  

【练习】\(6\)人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法. 【答案】\(504\)  

若某几个元素要求相邻，可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意复合元素内部也必须排列.   【典题1】\(7\)人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？ 【解析】由于甲乙相邻、丙丁相邻，可先将甲乙捆绑看成一个复合元素，丙丁捆绑也看成一个复合元素，再与其它元素共\(5\)个元素进行全排列\(A_5^5\)，同时对相邻元素内部进行自排\(A_2^2 A_2^2\)，由分步计数原理可得共有\(A_5^5 A_2^2 A_2^2=480\)种不同的排法.  

【练习】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，\(5\)人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为\(\underline{\quad \quad}\) . 【答案】\(12\)  

若某些元素要求不能相邻，则采取插空法. 即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.  

【典题1】一个晚会的节目有\(4\)个舞蹈，\(2\)个相声，\(3\)个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？ 【解析】分两步进行， 第一步 排\(2\)个相声和\(3\)个独唱共有\(A_5^5\)种， 第二步 将\(4\)个舞蹈插入第一步排好的\(6\)个空档(包括元素之间空档和首尾两个空档)排列，共有种\(A_6^4\)不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有\(A_5^5 A_6^4\)种.  

【练习】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是\(\underline{\quad \quad}\) 【答案】\(3600\)  

将\(n\)个相同的元素分成\(m\)份(\(n\),\(m\)为正整数)，每份至少一个元素，可以用\(m-1\)块隔板，插入\(n\)个元素排成一排的\(n-1\)个空隙中，所有分法数为\(C_{n-1}^{m-1}\).   【典题1】有\(10\)个运动员名额，分给\(7\)个班，每班至少一个，有多少种分配方案？ 【解析】题中说“\(10\)个运动员名额”，说明他们是没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成\(9\)个空隙.在\(9\)个空档中选\(6\)个位置插个隔板，可把名额分成\(7\)份，对应地分给\(7\)个班级，每一种插板方法对应一种分法共有\(C_9^6\)种分法.  

【练习】将\(12\)个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少\(1\)个，乙至少\(2\)个，丙至少\(3\)个，则共有多少种不同的分法？ 【答案】\(28\)  

对某些元素的顺序要求是固定的，可用倍缩法或者空位法.   【典题1】\(7\)人排队，其中甲乙丙\(3\)人顺序一定共有多少不同的排法？ 【解析】 \({\color{Red}{方法1\quad 倍缩法 }}\) 对\(7\)人全排列有\(A_7^7\)种排法，其中甲乙丙的顺序是随意的， 甲乙丙三人排列一共有\(A_3^3\)种(分别是甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲)， 假设“\(7\)人排队，其中甲乙丙\(3\)人按甲乙丙顺序”有\(x\)种排法，则后\(5\)种情况同理也是有\(x\)种排法，所以\(A_{3}^{3} \cdot x=A_{7}^{7} \Rightarrow x=\dfrac{A_{7}^{7}}{A_{3}^{3}}\). 其实\(n\)个元素排列，其中\(m\)元素固定顺序，则共有不同排法种数是\(\dfrac{A_{n}^{n}}{A_{m}^{m}}\). \({\color{Red}{ 方法2 \quad 空位法}}\) 设想\(7\)人坐在\(7\)把椅子上照相，那先让除甲乙丙以外的\(4\)人就坐，共有\(A_7^4\)种方法；其余的三个位置再安排甲乙丙就坐，由于他们顺序一定，即只有\(1\)种坐法，则共有\(A_7^4\cdot 1=A_7^4\)种方法.

  【练习】停车场划出一排\(12\)个停车位置，今有\(8\)辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 【答案】\(C_9^1 A_8^8\)  

【典题1】有\(5\)个不同的小球，装入\(4\)个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法. 【解析】第一步从\(5\)个球中选出\(2\)个组成复合元共有\(C_5^2\)种方法.再把\(4\)个元素(包含一个复合元素)装入\(4\)个不同的盒内有\(A_4^4\)种方法，根据分步计数原理装球的方法共有\(C_5^2 A_4^4\)不同的装法. \({\color{Red}{思考 }}\) 解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?  

【练习】一个班有\(6\)名战士，其中正副班长各\(1\)人现从中选\(4\)人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有\(1\)人参加，则不同的选法有\(\underline{\quad \quad}\)种. 【答案】\(192\)  

【典题1】将\(6\)位志愿者分成\(4\)组，其中两个组各\(2\)人，另两个组各\(1\)人，分赴世博会的四个不同场馆服务，则有多少种不同的分配方案？ 【解析】① 分组 分组的时候，分四步取书得\(C_6^2C_4^2C_2^2 C_1^1\)种方法，但这里出现重复计数的现象， 不妨给\(6\)位志愿者起名字\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\),\(a_4\),\(a_5\),\(a_6\)， 我们先看两组都是\(2\)人的情况，若第一步是\(a_1 a_2\)，第二步是\(a_3 a_4\)，记为\((a_1 a_2 ,a_3 a_4)\)， 它与\((a_3 a_4 ,a_1 a_2)\)的分法其实是一样的，则重复了\(A_2^2\)次，故分两组\(2\)人其实只有(\(\dfrac{C_{6}^{2} C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}}\))； 那两组\(1\)人的分法有\(\dfrac{C_{2}^{2} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}\)种，故先将\(6\)名志愿者分为\(4\)组，共有\(\dfrac{C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{1} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2} A_{2}^{2}}\)种分法； ② 分配 再将\(4\)组人员分到\(4\)个不同场馆去，共有\(A_4^4\)种分法， 故所有分配方案有\(\dfrac{C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{1} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2} A_{2}^{2}} A_{4}^{4}=1080\)种． 【点拨】 ① 对于这些分组问题，一般思路是先分组再分配，由于\(4\)个场馆是强调不一样的，故后面要有分配\(A_4^4\)； ② 在遇到平均分组的时候，要注意“重复计数的现象”，采取“除法策略”，因为它是“重复了倍数计数”，采取起名字的方法能让你更好理解其中缘由！  

【练习1】将\(4\)名大学生分配到\(3\)个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则有多少种不同的分配方案？ 【答案】\(36\)   【练习2】\(6\)本不同的书平均分成\(3\)堆，每堆\(2\)本共有多少分法？ 【答案】\(15\)  

一般地，\(n\)个不同元素作圆形排列，共有\((n-1)!\)种排法.如果从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素作圆形排列共有\(C_{m}^{n} \cdot(m-1) !=\dfrac{1}{m} A_{n}^{m}\).   【典题1】\(7\)人围桌而坐，共有多少种坐法? 【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余\(6\)人共有\((7-1)！=6!\)种排法.   【练习】\(6\)颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 【答案】\(240\)  

【典题1】\(6\)本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 【解析】分三种情况讨论： ①三人每人\(2\)本，有\(C_6^2 C_4^2 C_2^2=90\)种不同的分法， \({\color{Red}{(由于分组数目一样，可先让甲从6本书里拿2本C_6^2，再让乙在剩下的4本里拿2本C_4^2，最后丙拿剩下的2本C_2^2) }}\) ②三人中一人1本，一人\(2\)本，一人\(3\)本，有\(C_6^1 C_5^2 C_3^3 A_3^3=360\)种不同的分法， \({\color{Red}{(先给书“分组C_6^1 C_5^2 C_3^3”，由于题中说到甲乙丙3人，说明他们谁拿几本书是有区别的，故还要“后排列A_3^3”) }}\) ③三人中一人\(4\)本，其余\(2\)人各\(1\)本，有\(C_6^4 C_3^1 A_2^2=90\)种不同的分法， \({\color{Red}{(先从6本书中抽出4本C_6^4，再把它给甲乙丙其中1人C_3^1，最后把剩下2本给剩下2人A_2^2) }}\) 则有\(90+360+90=540\)种不同的分法. 点评 该题\(6\)本书是不一样的，不能用“隔板法”，要分类讨论. 有点像处理定序问题的倍缩法. 若题目只改一个字“\(6\)本\({\color{Red}{相同 }}\)的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有 种不同的分法.”则就用“隔板法”得到答案为\(C_5^2=10\)种.  

【典题2】已知\(a_1\),\(a_2\),… ,\(a_5\)为\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\)的任意一个排列．则满足：对于任意\(n∈\{1 ,2 ,3 ,4 ,5\}\)，都有\(a_1+a_2+⋯+a_n≤na_1\)的排列\(a_1\),\(a_2\),… ,\(a_5\)有多少个？ 【解析】根据题意，\(a_1\),\(a_2\),… ,\(a_5\)为\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\)的任意一个排列， 则\(a_1+a_2+⋯+a_5=1+2+3+4+5=15\)， 若\(a_1+a_2+⋯+a_5≤5a_1\)，必有\(a_1≥3\)， 当\(a_1=5\)时，任意排列都符合题意，此时有\(A_4^4=24\)个排列， 当\(a_1=4\)时，只要\(a_2≠5\)即符合题意，此时有\(3A_3^3=18\)个排列， 当\(a_1=3\)时，\(a_2=1\)或\(2\)，此时有\(32145\)、\(31245\)、\(32154\)、\(31254\)、\(32415\)、\(31425\)、\(31524\)，共\(7\)个排列符合题意， 则有\(24+18+7=49\)个满足题意的排列．  

【练习】某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是\(\underline{\quad \quad}\)． 【答案】\(18\)  

若题目从其正面入手比较麻烦，可能分类太多或不确定，或不清楚是否出现“重复计数”，则可考虑从反面入手用“淘汰法”.   【典题1】从\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)这十个数字中取出三个数，使其和为不小于\(10\)的偶数，不同的取法有多少种？ 【解析】这问题中如果直接求不小于\(10\)的偶数很困难，可用总体淘汰法. 三个数之和为偶数有两种可能，所取的三个数含有\(3\)个偶数的取法有\(C_5^3\)，只含有\(1\)个偶数的取法有\(C_5^1 C_5^2\)，和为偶数的取法共有\(C_5^1 C_5^2+C_5^3\)，而其中和小于\(10\)的偶数共\(9\)种，符合条件的取法共有\(C_{5}^{1} C_{5}^{2}+C_{5}^{3}-9=51\).  

【典题2】\(6\)人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法 【解析】 \({\color{Red}{ 方法一\quad 分类讨论}}\) ① 甲在最右端，有\(A_5^5=120\)种方法； ② 乙在最左端，甲不在最右端，有\(A_4^1 A_4^4=96\)种方法； ③ 甲乙均在中间，有\(A_4^2 A_4^4=288\)种方法； 则一共有\(120+96+288=504\)种方法. \({\color{Red}{ (本题有两个特殊元素，若采取分类讨论的方法，则比较麻烦.)}}\) \({\color{Red}{方法二\quad 淘汰法 }}\) \(6\)人全排列，有\(A_6^6\)种方法； 甲在最左端，有\(A_5^5\)种方法；乙在最右端，有\(A_5^5\)种方法； 甲在最左端且乙在最右端，有\(A_4^4\)种方法； 则一共有\(A_6^6-A_5^5-A_5^5+A_4^4=720-2×120+24=504\)种方法. \({\color{Red}{ (不要漏加回A_4^4)}}\) \({\color{Red}{ (利用集合中的veen图，更便于理解.)}}\) 【点拨】遇到这种由于限制条件有些多，导致分类太多或者不能很明确分类的时候，可以采取淘汰法！  

以下每题尽量用多种方法求解. 1(★★)【多选题】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则(　　) A．某学生从中选\(3\)门，共有\(30\)种选法 B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有\(240\)种排法 C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有\(144\)种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有\(504\)种排法  

2(★★)将\(6\)个数\(2\),\(0\),\(1\),\(9\),\(20\),\(19\)按任意次序排成一行，拼成一个\(8\)位数(首位不为\(0\))，则产生的不同的\(8\)位数的个数是(　　) A．\(546\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(498\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(516\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(534\)  

3(★★)\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\),\(F\)六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次．\(A\),\(B\),\(C\)三人去询问比赛结果，裁判对\(A\)说：“你和\(B\)都不是第一名”；对\(B\)说：“你不是最差的”；对\(C\)说：“你比\(A\),\(B\)的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有\(\underline{\quad \quad}\)种不同情况．  

4(★★★)设集合\(A=\{(x_1 ,x_2 ,x_3 ,x_4 ,x_5)|x_i∈{-1 ,0 ,1} ,i=1 ,2 ,3 ,4 ,5\}\)，则集合\(A\)中满足条件“\(1≤|x_1 |+|x_2 |+|x_3 |+|x_4 |+|x_5 |≤3\)”元素个数为\(\underline{\quad \quad}\)．  

5(★★★)一个含有\(6\)项的数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=3\)，\(a_{k+1}-a_k∈N(k=1 ,2 ,⋅⋅⋅ ,5)\)，且\(a_6∈\{4 ,6 ,8 ,10\}\)，则符合这样条件的数列\(\{a_n\}\)共有\(\underline{\quad \quad}\)个．  

6(★★★)在班级活动中，\(4\)名男生和\(3\)名女生站成一排表演节目：(写出必要的数学式，结果用数字作答) (1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ (2)四名男生相邻有多少种不同的排法？ (3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ (4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？(甲乙丙三位同学身高互不相等) (5)从中选出\(2\)名男生和\(2\)名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？ (6)现在有\(7\)个座位连成一排，仅安排\(4\)个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？    

7(★★★)由\(0\),\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\)这六个数字． (1)能组成多少个无重复数字的四位数？ (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)能组成多少个无重复数字且被\(25\)整除的四位数？ (4)组成无重复数字的四位数中比\(4032\)大的数有多少个？    

8(★★★)按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)\(5\)个不同的小球放入\(3\)个不同的盒子； (2)\(5\)个不同的小球放入\(3\)个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)\(5\)个相同的小球放入\(3\)个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (4)\(5\)个不同的小球放入\(3\)个不同的盒子，恰有\(1\)个空盒．    

1.\(CD\) 2.\(B\) 3.\(180\) 4.\(130\) 5.\(496\) 6.\((1) 1440 \quad (2) 576 \quad (3) 3720 \quad (4) 840 \quad (5) 432 \quad (6) 480\) 7.\((1) 300 \quad (2) 156\)\((3) 21 \quad (4) 112\) 8.\((1) 243 \quad (2) 150 \quad (3) 6 \quad (4) 90\)